高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程教学演示ppt课件

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第一章2021内容索引课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课前篇 自主预习激趣诱思设l1,l2是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的l1,l2是否唯一,如果唯一,作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(x,y)应满足什么条件.(1)已知l1的斜率不存在;(2)已知l1的斜率不存在,且l1过点A(-2,1);(3)已知l2的斜率为 ;(4)已知l2的斜率为 且l2过点B(1,2).提示 满足条件(1)的直线l1有无数条,但满足条件(2)的直线l1是唯一的,此时若P(x,y)为直线l1上的点,则必有x=-2,另外,任意横坐标为-2的点,一定都在直线l1上.知识点拨一、直线方程的点斜式1.直线的方程一般地,如果一条直线l上的每一个点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.2.直线方程的点斜式已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点,因为点P,Q都在直线l上,所以 =k,即 y-y0=k(x-x0),称为直线方程的点斜式.名师点析1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.微练习直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(　　)A.2　　B.-1　　C.3　　D.-3答案 C微思考方程k= 与y-y0=k(x-x0)一样吗?提示 不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).微判断(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.(　　)(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为 y=0.(　　)(3)直线y-3=m(x+9)恒过定点(9,-3).(　　)× × × 二、直线方程的斜截式若直线l经过点(0,b)且斜率为k,则点斜式中的点P(x0,y0)就可以为点(0,b),所以该直线方程的点斜式为y-b=k(x-0),即y=kx+b.该方程中的k为直线l的斜率,b为直线l在y轴上的截距.称y=kx+b为直线方程的斜截式.名师点析1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.微思考“截距”与“距离”有何区别?当截距相等时应注意什么?提示 “截距”是直线与坐标轴交点的对应坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数;当截距相等时应注意考虑过原点的特殊情况是否满足题意.微判断(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.(　　)(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(　　)× × 课堂篇 探究学习例1写出下列直线方程的点斜式.(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;(2)直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,求直线l的点斜式方程;(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.解 (1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan 45°=1,所以直线的方程为y-5=x-2.(2)直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k'=tan 135°=-1.所以直线的方程为y-4=-(x-3).(3)由题意知,直线的斜率k=tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y=-1.(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线没有点斜式方程.反思感悟 直线方程的点斜式的求法(1)求直线方程的点斜式,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.变式训练1求满足下列条件的直线方程的点斜式.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.解 (1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率又∵直线过点P(-2,3),∴直线的点斜式方程为y-3=-(x+2).例2已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程;(2)当m为何值时,直线过(1,1)点?解 (1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.(2)将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.延伸探究(1)将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?(2)本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?解 (1)直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.反思感悟 1.求直线方程的斜截式,只要确定直线的斜率和截距即可,要特别注意截距和距离的区别.2.直线方程的斜截式y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式,利用k,b的几何意义进行判断.变式训练2已知直线l的斜率与直线y= x-3的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的方程.直线过定点问题的处理策略如何解决直线过定点问题,怎样迅速找到解题的切入点,下面提供几种思路,希望对同学们有所帮助.证明 由方程ax+y+a+2=0,知a(x+1)+y+2=0. 将其代入直线方程ax+y+a+2=0后,方程恒成立.∴直线ax+y+a+2=0恒过定点(-1,-2).例1证明:无论a取任何实数,直线ax+y+a+2=0恒过定点.方法一:利用函数与方程思想分析将方程视为关于a的方程,把它整理成ma+n=0的形式,由于不论a为何值时总成立,须满足m=n=0.方法二:利用点斜式方程y-y0=k(x-x0)分析将直线方程改写成点斜式,然后找出定点(x0,y0).证明 将直线方程改写为y+2=-a(x+1).将-a看成直线的斜率,这就是直线方程的点斜式,故直线恒过定点(-1,-2).方法三:利用过定点的直线系分析由于直线恒过的定点,必定是其中两条直线的交点.因此可利用特殊值法,分别代入两个a值,得两条直线方程,再确定交点坐标,最后代入原方程确认.证明 令a=0,得y+2=0,①令a=1,得x+y+3=0,②联立①②得x=-1,y=-2.将x=-1,y=-2代入直线方程,经检验满足直线方程,∴直线恒过定点(-1,-2).例2求证:无论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.证法一对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明无论m为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).证法二将已知方程以m为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 1.过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程为(　　) 答案 C 解析 因为直线的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°= ,由直线方程的点斜式,可得方程为y-2= (x+3).答案 B 3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(　　)A.k>0,b>0 B.k>0,b