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数学选择性必修 第一册5 数学探究活动(一)：正方体截面探究说课ppt课件
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第三章2021内容索引课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课前篇 自主预习知识点拨用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫作这个几何体的截面,此平面与几何体表面的交集(交线)叫作截线,此平面与几何体的棱的交集(交点)叫作截点.1.方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而求得截面.2.作截线与截点的主要根据有:(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行微练习九章算术中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )答案 A 解析 依题意,任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆,正方形和内切圆的面积比为4∶π,由祖暅原理,“牟合方盖”体积和内切球的体积之比为4∶π,又球的体积为 π,∴“牟合方盖”的体积为 .故选A.课堂篇 探究学习例1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求作过E,F,G三点的截面.作法(1)在底面AC内,过E,F作直线EF分别与DA,DC的延长线交于L,M.(2)在侧面A1D内,连接LG交AA1于K.(3)在侧面D1C内,连接GM交CC1于H.(4)连接KE,FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱AA1,BC上,G在底面A1C1内,求过E,F,G的截面.作法(1)过E,F作辅助面,在平面BC1内,过F作FF1∥BB1,交B1C1于点F1,则平面AFF1A1为所作的辅助面.(2)在平面AFF1A1内,延长F1A1交FE的延长线于点P.(3)在平面A1B1C1D1内,连接PG交A1B1于点M,并延长交B1C1于N.(4)连接ME并延长,与BA延长线交于点Q,连接QF交AD于点H.(5)连接EH,FN,则五边形EHFNM为所求的截面.例3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 . 答案 ①②③⑤ 1.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若正四棱锥P-ABCD的高为2,则球O的表面积为( )A.8π B.9π C.12π D.16π答案 A ∴球O的表面积为4πR2=8π.故选A.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC是下底面,M是BB1上的点,AB=3,BC=4,AC=5,CC1=7,过三点A,M,C1作截面,当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为( )答案 D 解析 由AB=3,BC=4,AC=5,得AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内,连接AC1,与BB1的交点即为M,此时BM=3,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=2,底面ABCD是边长为 的正方形.点E是PC的中点,过点A,E作棱锥的截面,分别与侧棱PB,PD交于M,N两点,则四棱锥P-AMEN体积的最小值为( )答案 D 解析 ∵在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=2,底面ABCD是边长为 的正方形.点E是PC的中点,过点A,E作棱锥的截面,分别与侧棱PB,PD交于M,N两点,依题意,当S△PMN最小时,四棱锥P-AMEN体积取最小值.设PO与AE交于点V,4.已知正四棱锥P-ABCD的高为2,AB=2 ,过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1,点A1在PA上,点B1在PB上,点C1在PC上,点D1在PD上.若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上,则该球的表面积为( )答案 A 解析 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥,所以底面是正方形,设正方形ABCD的中心为点M,因为AB=2 ,所以AC=4,AM=2.又PM=2,所以PA=2 ,所以△PAC是等腰直角三角形.因为截面A1B1C1D1过PM的中点N,所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心,且PM⊥截面A1B1C1D1.所以PN=MN=A1N=1,设球心为O,球的半径为R,则A1O=AO=R.解得R2=5,故S=4πR2=20π.故选A.本 课 结 束
第三章2021内容索引课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课前篇 自主预习知识点拨用一个平面去截几何体,此平面与几何体的交集,叫作这个几何体的截面,此平面与几何体表面的交集(交线)叫作截线,此平面与几何体的棱的交集(交点)叫作截点.1.方法(交线法).该作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而求得截面.2.作截线与截点的主要根据有:(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行微练习九章算术中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图).现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法.显然,正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球.因此,用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”,截面均为正方形,该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆.结合祖暅原理,两个同高的立方体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )答案 A 解析 依题意,任意水平面与“牟合方盖”及其内切球相交的截面为正方形和一个正方形的内切圆,正方形和内切圆的面积比为4∶π,由祖暅原理,“牟合方盖”体积和内切球的体积之比为4∶π,又球的体积为 π,∴“牟合方盖”的体积为 .故选A.课堂篇 探究学习例1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求作过E,F,G三点的截面.作法(1)在底面AC内,过E,F作直线EF分别与DA,DC的延长线交于L,M.(2)在侧面A1D内,连接LG交AA1于K.(3)在侧面D1C内,连接GM交CC1于H.(4)连接KE,FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱AA1,BC上,G在底面A1C1内,求过E,F,G的截面.作法(1)过E,F作辅助面,在平面BC1内,过F作FF1∥BB1,交B1C1于点F1,则平面AFF1A1为所作的辅助面.(2)在平面AFF1A1内,延长F1A1交FE的延长线于点P.(3)在平面A1B1C1D1内,连接PG交A1B1于点M,并延长交B1C1于N.(4)连接ME并延长,与BA延长线交于点Q,连接QF交AD于点H.(5)连接EH,FN,则五边形EHFNM为所求的截面.例3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 . 答案 ①②③⑤ 1.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同,若正四棱锥P-ABCD的高为2,则球O的表面积为( )A.8π B.9π C.12π D.16π答案 A ∴球O的表面积为4πR2=8π.故选A.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC是下底面,M是BB1上的点,AB=3,BC=4,AC=5,CC1=7,过三点A,M,C1作截面,当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为( )答案 D 解析 由AB=3,BC=4,AC=5,得AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内,连接AC1,与BB1的交点即为M,此时BM=3,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=2,底面ABCD是边长为 的正方形.点E是PC的中点,过点A,E作棱锥的截面,分别与侧棱PB,PD交于M,N两点,则四棱锥P-AMEN体积的最小值为( )答案 D 解析 ∵在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=2,底面ABCD是边长为 的正方形.点E是PC的中点,过点A,E作棱锥的截面,分别与侧棱PB,PD交于M,N两点,依题意,当S△PMN最小时,四棱锥P-AMEN体积取最小值.设PO与AE交于点V,4.已知正四棱锥P-ABCD的高为2,AB=2 ,过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD的平面截该正四棱锥所得截面为A1B1C1D1,点A1在PA上,点B1在PB上,点C1在PC上,点D1在PD上.若底面ABCD与截面A1B1C1D1的顶点在同一球面上,则该球的表面积为( )答案 A 解析 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥,所以底面是正方形,设正方形ABCD的中心为点M,因为AB=2 ,所以AC=4,AM=2.又PM=2,所以PA=2 ,所以△PAC是等腰直角三角形.因为截面A1B1C1D1过PM的中点N,所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心,且PM⊥截面A1B1C1D1.所以PN=MN=A1N=1,设球心为O,球的半径为R,则A1O=AO=R.解得R2=5,故S=4πR2=20π.故选A.本 课 结 束
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