北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值教学课件ppt

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第六章2021内容索引课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课前篇 自主预习激趣诱思设有12个西瓜,其中质量为5 kg的有4个,质量为6 kg的有3个,质量为7 kg的有5个.任取一个西瓜,用X表示这个西瓜的质量,X可以取哪些值?X取上述值时对应的概率分别是多少?任取一个西瓜,它的质量的均值该如何求?知识点拨一、离散型随机变量的均值设离散型随机变量X的分布列如表所示:则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,反映了离散型随机变量X取值的平均水平,是随机变量X的一个重要特征.名师点析对离散型随机变量的均值的理解1.均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数.2.离散型随机变量的均值EX是一个数值,是随机变量X本身固有的一个数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.3.由离散型随机变量的均值的定义可知,它与离散型随机变量有相同的单位.微练习1下列说法正确的有　　　　(填序号). ①随机变量X的数学期望EX是个常量,其不随X的变化而变化;②随机变量的均值反映样本的平均水平;答案 ①解析 ①正确,由均值的定义可知.②错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③错误,因为EX=x1p1+x2p2+…+xnpn.微练习2已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望EX=　　　　.  二、均值(期望)的性质若η=aξ+b(a,b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为于是Eη=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEξ+b,由此,我们得到了期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b.微练习1设EX=10,则E(3X+5)=　　　　. 答案 35解析 E(3X+5)=3EX+5=3×10+5=35.微练习2已知离散型随机变量X的分布列为设Y=6X+1,则Y的数学期望EY=　　　　. 答案 0 课堂篇 探究学习例1在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.从而知ξ的分布列为 反思感悟 求离散型随机变量ξ的均值的步骤1.根据ξ的实际意义,写出ξ的全部取值.2.求出ξ的每个值的概率.3.写出ξ的分布列.4.利用定义求出均值.其中第1,2两条是解答此类题目的关键,在求解过程中应注重分析概率的相关知识.变式训练1盒中装有5节同牌号的五号电池,其中混有2节废电池.现在无放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.所以X的分布列为 例2已知随机变量X的分布列为 若Y=-2X,则EY=　　　　.  反思感悟 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数.一般思路是先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,关键由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得Eξ.变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且Eη=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(　　)答案 A 例3随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望);(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?故X的分布列为 (2)EX=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为EX=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).依题意,EX≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.反思感悟 1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的期望.(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.变式训练3甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数,已知两名运动员击中的环数X甲,X乙稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布条形图如图所示.(1)根据这次比赛的成绩频率分布条形图推断乙击中8环的概率,甲击中9环以上(包括9环)的概率(用频率代替概率);(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即谁每次射击的平均环数大).解 (1)由题目中乙的图可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.所以P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.由题目中甲的图可知P(X甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.P(X甲≥9)=0.3+0.35=0.65.(2)因为EX甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,EX乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,因为EX甲>EX乙,所以估计甲的水平更高.随机变量的均值与高考离散型随机变量的分布列在现实生活中应用极为广泛,在高考中对该知识点的考查相对灵活,常与均值等融合在一起.计算随机变量的均值的前提是把分布列写正确.典例受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A, (2)依题意得,X1的分布列为 X2的分布列为 (3)由(2)得, 因为EX1>EX2,所以应生产甲品牌轿车. 方法点睛解答此类题目时,首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,并根据期望的大小作出判断.1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如下,则随机变量X的数学期望EX等于(　　)答案 D 答案 C 3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为(　　)答案 D 4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下: 已知ξ的均值Eξ=8.9,则y的值为　　　　.  答案 0.4 5.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到1个黑球记0分,每取到1个白球记1分,每取到1个红球记2分,用X表示取得的分数.求:(1)X的分布列;(2)X的均值.故X的分布列为 本 课 结 束