人教A版 (2019)选择性必修第三册7.4 二项分布与超几何分布教案

展开

这是一份人教A版 (2019)选择性必修第三册7.4 二项分布与超几何分布教案

7.4.1 二项分布教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习二项分布前面学生已经掌握了有关概率的基础知识等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关内容。二项分布是一种应用广泛的概率模型，是对前面所学知识的综合应用。节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。教学目标与核心素养重点难点重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.课前准备多媒体教学过程教学反思课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学实效.1. 多元展示, 多方评价. 在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想.课程目标学科素养A.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;B.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差.1.数学抽象：n重伯努利试验的概念2.逻辑推理：二项分布的随机变量的均值和方差3.数学运算：二项分布的有关计算 4.数学建模：模型化思想教学过程教学设计意图核心素养目标问题导学问题1：伯努利试验在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立.做一做:下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数1是抛掷一枚质地均匀的硬币0.5102是某飞碟运动员进行射击0.833是从一批产品中随机抽取一件0.9520探究新知探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：问题由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得P(X=0)=P(A1A2A3)=0.23,PX=1=PA1A2A3+PA1A2A3+PA1A2A3=3×0.8×0.22,P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3×0.82×0.2,P(X=3)=P(A1A2A3)=0.83.为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82×0.2，并且与哪两次中靶无关.因此,3次射击恰好2次中靶的概率为C32×0.82×0.2.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为：P(X=k)=C3k×0.8k×0.23−k，k=0,1，2，3探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.(1)表示中靶次数X等于2的结果有：A1 A2 A3 A4, A1 A2 A3 A4,, A1 A2 A3 A4, A1 A2 A3A4 , A1 A2A3A4, A1 A2 A3A4,共6个。(2)中靶次数X的分布列为：PX=k=C4k×0.8k×0.24−k，k=0,1，2，3,4 二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？当n=1时，X服从两点分布，分布列为P(X=0)=1−p,P(X=1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1−p).2当n=2时，X的分布列为 PX=0=1−p2,PX=1=2p1−p,P(X=2)=p2.均值和方差分别为 E(X)=0×1−p2+1×2p（1−p）+2×p2=2p. D(X)=02×1−p2+12×2p（1−p）+22×p2−(2p)2=2p（1−p）.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).证明：∵P(X=k)= Cnkpkqn-k(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)∴kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k∴E (X) =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + 　Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入的n重伯努利试验的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。通过问题分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对二项分布的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为(　　）A．C eq \o\al(\s\up1(8),\s\do1(10)) ×0.88×0.22 B．0.88×0.22C．C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ×0.28×0.82 D．0.28×0.82解析：设X为击中目标的次数，则X～B(10，0.8)，∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X＝8)＝C eq \o\al(\s\up1(8),\s\do1(10)) ×0.88×(1－0.8)2＝C eq \o\al(\s\up1(8),\s\do1(10)) ×0.88×0.22.故选A.答案：A2.已知X是一个随机变量，若X～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3))) ，则P(X＝2）等于(　　）A． eq \f(3,16) 　　　　B． eq \f(4,243) C． eq \f(13,243) 　　　　D． eq \f(80,243) 解析：由题意知n＝6，p＝ eq \f(1,3) ，故P(X＝2)＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) eq \s\up12(6－2) ＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(4) ＝ eq \f(80,243) .故选D.答案：D3.已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为 eq \f(2,3) ，乙队中每人答对的概率分别为 eq \f(2,3) ， eq \f(2,3) ， eq \f(1,2) ，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1）求随机变量ξ的分布列．(2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB）.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以ξ～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))) .P(ξ＝0)＝C eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(1,27) ，P(ξ＝1)＝C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) × eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(2,9) ，P(ξ＝2)＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) ＝ eq \f(4,9) ，P(ξ＝3)＝C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3) ＝ eq \f(8,27) ，所以ξ的分布列为ξ0123P eq \f(1,27) eq \f(2,9) eq \f(4,9) eq \f(8,27) (2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．P(C)＝C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(1,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×\f(1,2)＋\f(1,3)×\f(1,3)×\f(1,2))) ＝ eq \f(10,81) .P(D)＝ eq \f(8,27) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) ＝ eq \f(4,243) .所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝ eq \f(10,81) ＋ eq \f(4,243) ＝ eq \f(34,243) .5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 eq \f(1,3) .(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3))) ，所以E(ξ)＝6× eq \f(1,3) ＝2，D(ξ)＝6× eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3))) ＝ eq \f(4,3) .(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.二项分布的定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0