九年级数学 培优竞赛 专题01 二次根式的化简与求值 讲义学案

 专题01　二次根式的化简与求值 

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子.

2、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

数学思想：

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.

想一想：若（其中x, y, n都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？

例题与求解

【例1】　当时，代数式的值是（　　）

     A、0　　　　B、－1　　　　C、1　　　　D、

（绍兴市竞赛试题）

【例2】　化简

（1）

（黄冈市中考试题）

（2）

（五城市联赛试题）

（3）

（北京市竞赛试题）

（4）

（陕西省竞赛试题）

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例3】　比大的最小整数是多少？

（西安交大少年班入学试题）

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设

想一想：设求的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）

形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例4】　设实数x，y满足，求x＋y的值.

（“宗泸杯”竞赛试题）

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例5】　（1）代数式的最小值.

　　　   （2）求代数式的最小值.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例6】　设，求的值.

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

能力训练

A级

1.化简：（“希望杯”邀请赛试题）

2.若，则＝_____(北京市竞赛试题)

3. 计算：

                                                           （“希望杯”邀请赛试题）

4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）

5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（　　　）

  A.   x≤1         B. x≥2         C. 1≤x≤2         D. x＞0

6、计算的值为（　　）

A．1　　      　B.         C.           D. 5

（全国初中数学联赛试题）

7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（　　）

A．1999　　　B. 2000　　　C. 2001　　D.　不能确定

（全国初中数学联赛试题）

8、有下列三个命题

甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；

其中正确命题的个数是（　　）

A.0个　　     　B.1个　　    　C.2个　　   　D.3个

（全国初中数学联赛试题）

9、化简：

（1）　　                （2）

（3）

（4）　　（天津市竞赛试题）

（5）　　　（“希望杯”邀请赛试题）

10、设，求代数式的值.

（“希望杯”邀请赛试题）

11、已知，求x的值.

12、设（n为自然数），当n为何值，代数式的

   值为1985？

B　级

1.已知.   (四川省竞赛试题)

2.已知实数x，y满足，则＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）

3.已知.                           （重庆市竞赛试题）

4.那么＝＿＿＿＿＿.                 （全国初中数学联赛试题）

5.　a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（　　）

A.2　　　     B.　4　　    　C.　6　　    　D.　8

(全国初中数学联赛试题)

6．　已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）

　　B. b＜a＜c　C. c＜b＜c   D. c＜a＜b

(全国初中数学联赛试题)

7.　已知，则的值是（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.　不能确定

8.　若[a]表示实数a的整数部分，则等于（　　）

A.1　　　      B.2　　    　C.3　　　  　D.　4

（陕西省竞赛试题）

9．　把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（　　）

A.　　　B.　　C. 　　D.

（武汉市调考题）

10、化简：

（1）　                           （“希望杯”邀请赛试题）

（2）          （新加坡中学生竞赛试题）

（3）　　                                      （山东省竞赛试题）

（4）　　                                 （太原市竞赛试题）

11、设　求证.

（“五羊杯”竞赛试题）

12、求的最大值.

13、已知a, b, c为正整数，且为有理数，证明：为整数.