2021-2022学年河南省南阳市第一中学校高二上学期第一次月考数学试题含解析

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河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题1．下列有关数列的说法正确的是（ ）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，1与数列1，0，是同一个数列C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】根据数列的概念，逐项判断即可.【详解】A是错误的，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B是错误的，数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列；C是错误的，是一个集合；根据数列的概念，D是正确的.故选：D.2．已知数列，，，，…，则是这个数列的A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项【答案】B【分析】将数列中的每一项都写成，即可判断是第几项.【详解】可将数列改写为，，，，... ，由此可归纳该数列的通项公式为，又，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.3．在数列中，对所有的正整数都成立，且，则等于(　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】由数列{an}中，对所有的正整数n都成立，令n=5得，把代入即可解得．【详解】∵数列{an}中，对所有的正整数n都成立，令n=5得，，∵，∴，解得a5=1．故选A．【点睛】本题考查求数列中的项，正确理解数列的递推公式和递推关系是解题的关键．4．函数定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，则（ ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】先根据定义计算，找出规律，根据周期求结果.【详解】∵，，，∴该数列周期为3，∴.故选：D.5．在中，，则的形状为（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因，则有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故选：B6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查了数学运算能力.7．△中，已知分别是角的对边，若，，则△外接圆的直径为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理变化角可得，再利用正弦定理即可得解.【详解】由知，，由，所以，故选：A.8．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列中，，∴，即．又，∴的前项和的最小值为．故选：B9．在中，若，此三角形的面积，则的边的长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形的面积公式可得,，从而可求c的值.【详解】由， 可得，，即，故选A.【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，属于基础题.10．已知数列，满足.若，的值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据可知数列为等比数列，将代入后将其变形可知数列为等差数列，即可解得；将，代入即可解出答案.【详解】因为.所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列.所以.，,所以数列为以3为首项，为公差的等差数列.所以..故选：C.【点睛】本题考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关键..11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列的通项公式．【详解】由题已知是上的奇函数，故，代入得：， ∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：C．【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式.12．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】先求出，再求出，，再利用裂项相消化简求出最小正整数n的值.【详解】把代入），得，故，则，则不等式成立，代入计算可得，当不等式成立时．n的最小值为9．故选C．【点睛】本题主要考查数列通项的计算，考查等比数列的前n项和，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．已知1、、、9成等差数列，1、、、、9成等比数列，且、、、、都是实数，则________．【答案】【分析】本题首先可根据等差数列的相关性质得出，然后根据等比数列的相关性质得出，最后通过计算即可得出结果．【详解】因为1、、、9成等差数列，所以，因为1、、、、9成等比数列，所以且，，所以，答案为【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的相关性质，考查等差数列的定义以及等比中项，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．14．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】分段函数型数列是递增数列，需要每段是递增函数，且分段端点满足后一项大于前一项，联立不等式解出实数即可.【详解】数列是递增数列，又，，且，解得或，故实数的取值范围是．故答案为：．15．在中，内角的对边分别为a，b，c，若，若此三角形有两解，则b的取值范围是___________.【答案】【分析】有两解时需要：，代入数据，求出的范围．【详解】解：由题意得，有两解时需要：，因为，所以，解得；故答案为：．16．已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】 ，当 时， . 又 且 ， ，得 ，因为，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为 .17．等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】解：（1）设数列的公比为，则，由得：，所以.由，得到所以数列的通项公式为.（2）由条件知，又将以上两式相减得所以.18．中，角、、的对边分别为、、，.（1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值；（2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，即可求得的值.【详解】解：∵，∴，或（1）∵，，（2），，，∴，∴，，，19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，且的面积，求的周长l的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面积公式，得出的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.【详解】（1）由正弦定理，得，∴，∴由余弦定理，得， ∵，∴. （2）∵的面积，∴，∴， 若，则，∴，∵的周长，且，∴，即的周长的取值范围为.20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元（1）判断是否为等比数列？并说明理由；（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）6.【分析】（1）由题意得，从而得，而当，即时，所以不是等比数列；（2）由（1）可知， ，由可得，然后利用单调递增，可得答案【详解】解：（1）由题意得，.当时，即时，是以为首项，为公比的等比数列.当，即时， 不是等比数列（2）当时，由（1）知，，即，法一：易知单调递增，又，，，，的最小值为6法二：，，的最小值为6.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.21．已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．【答案】（1）证明见解析； （2）.【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解.【详解】（1）由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，所以设数列的前项和为，则 ，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为.22．已知数列的通项公式（）且().(1)求数列的通项公式；(2)求数列中最大值的项和最小值的项.【答案】(1)；(2)最大值项为，最小值项为.【分析】(1)首先根据已知条件求出，然后再根据求解，并对进行讨论，即可求解.(2)首先求出的通项公式，利用单调性即可求出最大值的项和最小值的项.【详解】(1)∵，∴.当时，，∵，∴；当时，，∴，显然当时，不成立.综上，.(2)当时，，当时，.∵在时为增函数，∴必有.由，可知.∵，∴数列的最大值项为，最小值项为.评卷人得分一、单选题1234551342评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题