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人教版新高考数学二轮复习课件--三角函数的图象与性质
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专题二2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引必备知识•精要梳理 关键能力•学案突破 必备知识•精要梳理 1.“1”的变换1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).2.三角函数图象变换三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).3.三角函数的周期性 特别提醒函数y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半. 4.三角函数的奇偶性与对称性 (3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,没有对称轴,对称中心的横坐标由ωx+φ= (k∈Z)确定.温馨提示正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点,对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点.关键能力•学案突破 [例1-1](2021·吉林长春第二实验中学期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知角α的终边上有一点P(1,2),点Q在角2α的终边上,且|OQ|=10,则点Q的坐标为( )A.(-6,-8) B.(-6,8)C.(6,-8) D.(6,8)答案 B 答案 C 规律方法点的坐标与三角函数值的关系根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个三角函数值;反之,当给定一个角的大小或该角的正、余弦值时,也可以求出角的终边上一点的坐标,即角θ的终边上一点P的坐标为P(rcos θ,rsin θ),其中r为点P到角的顶点的距离,据此可以实现角与点的坐标之间的联系,为三角换元方法奠定理论基础.对点练1答案 B 命题角度1 已知图象求解析式答案 BC 方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.对点练2(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足答案 2 命题角度2 图象变换答案 B 规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下(1)定函数.一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名.变换前后函数的名称要一样.(3)选方法,即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.对点练3(2021·山东临沂月考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移 个单位长度后与f(x)的图象重合,则ω的最小值为( )A.8 B.4 C.2 D.1答案 B 命题角度1 正弦型函数的性质答案 ACD 规律总结研究正弦型函数性质的基本方法一般地,研究正弦型函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.对点练4答案 D 命题角度2 非正弦型函数的性质答案 AD 名师点析回归定义研究三角函数的性质在研究三角函数性质时,如果函数不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助复合函数的单调性法则或导数研究其单调性或最值,可用周期的定义、轴对称或中心对称的一般条件来判断函数的周期、函数图象的对称轴或对称中心.(1)若非零实数t使得f(x+t)=f(x)对x∈R恒成立,则可推出t是函数f(x)的一个周期.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.对点练5(2021·湖北黄冈模拟)关于函数f(x)=|cos x|-|sin|x||有下面四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)是周期为π的函数;③f(x)在区间 上单调递减;④f(x)的最大值为 .其中正确结论的编号为( )A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④答案 A
专题二2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI内容索引必备知识•精要梳理 关键能力•学案突破 必备知识•精要梳理 1.“1”的变换1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).2.三角函数图象变换三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).3.三角函数的周期性 特别提醒函数y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半. 4.三角函数的奇偶性与对称性 (3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,没有对称轴,对称中心的横坐标由ωx+φ= (k∈Z)确定.温馨提示正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点,对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点.关键能力•学案突破 [例1-1](2021·吉林长春第二实验中学期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知角α的终边上有一点P(1,2),点Q在角2α的终边上,且|OQ|=10,则点Q的坐标为( )A.(-6,-8) B.(-6,8)C.(6,-8) D.(6,8)答案 B 答案 C 规律方法点的坐标与三角函数值的关系根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个三角函数值;反之,当给定一个角的大小或该角的正、余弦值时,也可以求出角的终边上一点的坐标,即角θ的终边上一点P的坐标为P(rcos θ,rsin θ),其中r为点P到角的顶点的距离,据此可以实现角与点的坐标之间的联系,为三角换元方法奠定理论基础.对点练1答案 B 命题角度1 已知图象求解析式答案 BC 方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.对点练2(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足答案 2 命题角度2 图象变换答案 B 规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下(1)定函数.一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名.变换前后函数的名称要一样.(3)选方法,即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.对点练3(2021·山东临沂月考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移 个单位长度后与f(x)的图象重合,则ω的最小值为( )A.8 B.4 C.2 D.1答案 B 命题角度1 正弦型函数的性质答案 ACD 规律总结研究正弦型函数性质的基本方法一般地,研究正弦型函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.对点练4答案 D 命题角度2 非正弦型函数的性质答案 AD 名师点析回归定义研究三角函数的性质在研究三角函数性质时,如果函数不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助复合函数的单调性法则或导数研究其单调性或最值,可用周期的定义、轴对称或中心对称的一般条件来判断函数的周期、函数图象的对称轴或对称中心.(1)若非零实数t使得f(x+t)=f(x)对x∈R恒成立,则可推出t是函数f(x)的一个周期.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.对点练5(2021·湖北黄冈模拟)关于函数f(x)=|cos x|-|sin|x||有下面四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)是周期为π的函数;③f(x)在区间 上单调递减;④f(x)的最大值为 .其中正确结论的编号为( )A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④答案 A
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