高考数学(理数)一轮复习检测卷：1.10《函数与方程》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：1.10《函数与方程》 (教师版)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)A．y＝log0.5x　　　　　　　 B．y＝2x－1C．y＝x2－eq \f(1,2) D．y＝－x3解析：选B.函数y＝log0.5x在定义域上单调递减，y＝x2－eq \f(1,2)在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.2．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，1)解析：选C.由题意知，f(－1)·f(1)＜0，即(1－a)(1＋a)＜0，解得a＜－1或a＞1.3．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)解析：选C.因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝eq \f(3,2)－log24＝－eq \f(1,2)＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.4．函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为(　　)A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1＝0的解，即|ln x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的解，作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点．5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(　　)A．(0，1) B．(0，1]C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：选D.令m＝0，由f(x)＝0得x＝eq \f(1,3)，满足题意，可排除选项A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1，满足题意，排除选项C.故选D.6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－eq \f(1,\r(x))的零点依次为a，b，c，则(　　)A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c解析：选A.在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－eq \f(1,\r(x))的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.7．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式成立的是(　　)A．f(a)＜f(1)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(1)C．f(1)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(1)＜f(a)解析：选A.函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，g(1)＝－1＜0，g(e)＝e－1＞0，所以a∈(0，1)，b∈(1，e)，即a＜1＜b，所以f(a)＜f(1)＜f(b)．8．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.答案：29．已知a＞0，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋a，x≤0，,－x2＋2ax－2a，x＞0.))若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－ax，x≤0，,－x2＋ax，x＞0.))作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－eq \f(a2,4)＋eq \f(a2,2)＝eq \f(a2,4)，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜eq \f(a2,4)＜2a，得4＜a＜8.答案：(4，8)10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＞0，,f（0）＜0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－4a＞0，,1－2a＜0，,\f(3,4)－a＞0，))解得eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,4).故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).B级　能力提升练11．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋1），x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为(　　)A．2a－1 B．2－a－1C．1－2－a D．1－2a解析：选D.当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；x≤－1⇒－x≥1.又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log\s\do9(\f(1,2))（－x＋1），x∈（－1，0），,－1＋|x＋3|，x∈（－∞，－1]，))画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则eq \f(x1＋x2,2)＝－3，eq \f(x4＋x5,2)＝3，而－log0.5(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D.12．已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝eq \r(x)＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)A．(0，1]∪[2eq \r(3)，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)C．( 0，eq \r(2) ]∪[2eq \r(3)，＋∞) D．(0，eq \r(2)]∪[3，＋∞)解析：选B.在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))eq \s\up12(2)与g(x)＝eq \r(x)＋m的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m≤1时，eq \f(1,m)≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．(2)当m＞1时，0＜eq \f(1,m)＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．故选B.13．已知λ∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，　　x≥λ，,x2－4x＋3，x＜λ.))当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)当λ＝2时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥2，,x2－4x＋3，x＜2，))其图象如图(1)．由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．(2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x＜λ))恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)14．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x＞0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：(1)函数图象如图所示．(2)∵f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1，x∈（0，1]，,1－\f(1,x)，x∈（1，＋∞），))故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且eq \f(1,a)－1＝1－eq \f(1,b)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．15．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜eq \f(5,4)时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).C级　素养加强练16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x，x≥1，,1－\f(x,2)，x＜1，))若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是(　　)A．[4－2ln 2，＋∞) B．(eq \r(e)，＋∞)C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，eq \r(e))解析：选D.因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln x，x≥1，,1－\f(x,2)，x＜1，))所以F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（ln x＋1）＋m，x≥1，,ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,2)))＋m，x＜1，))由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,2)))＜－ln eq \f(3,2)，∴m＜lneq \f(2,3).设t＝e－m，则t＞eq \f(3,2)，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t＞eq \f(3,2)，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上是减函数，所以g(t)＜geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq \r(e)，故选D.