高考数学(理数)一轮复习检测卷：3.1《任意角的三角函数、同角三角函数关系与诱导公式》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：3.1《任意角的三角函数、同角三角函数关系与诱导公式》 (教师版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋eq \f(1,cos α)＝(　　)A．－eq \f(1,5)　　　　　　　 B．eq \f(37,15)C.eq \f(37,20) D．eq \f(13,15)解析：选D.∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，∴sin α＋eq \f(1,cos α)＝－eq \f(4,5)＋eq \f(5,3)＝eq \f(13,15).故选D.2．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cos x＝eq \f(4,5)，则tan x的值为(　　)A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)解析：选B.因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sin x＝－eq \r(1－cos2x)＝－eq \f(3,5)，所以tan x＝eq \f(sin x,cos x)＝－eq \f(3,4).故选B.3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))<0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：选B.∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cos θ<0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.4．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝(　　)A．150° B．135°C．300° D．60°解析：选C.因为sin 150°＝eq \f(1,2)>0，cos 150°＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以角α终边上一点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，所以该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－eq \f(\r(3),2)，又0°≤α<360°，所以角α的值是300°，故选C.5．已知曲线f(x)＝eq \f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq \f(sin2α－cos2α,2sin αcos α＋cos2α)＝(　　)A.eq \f(1,2) B．2C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,8)解析：选C.由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以eq \f(sin2α－cos2α,2sin αcos α＋cos2α)＝eq \f(tan2α－1,2tan α＋1)＝eq \f(3,5).故选C.6．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值是(　　)A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)解析：选A.∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，故选A.7．若eq \f(1＋cos α,sin α)＝2，则cos α－3sin α＝(　　)A．－3 B．3C．－eq \f(9,5) D．eq \f(9,5)解析：选C.∵eq \f(1＋cos α,sin α)＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝eq \f(4,5)或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－eq \f(9,5).故选C.8．已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，eq \r(3)m)，则sin 2α＝________．解析：由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1，故m2＝eq \f(1,4).由任意角三角函数定义知cos α＝m，sin α＝eq \r(3)m，由此sin 2α＝2sin αcos α＝2eq \r(3)m2＝eq \f(\r(3),2).答案：eq \f(\r(3),2)9．已知eq \f(sin x＋3cos x,3cos x－sin x)＝5，则sin xcos x＋cos2x＝________．解析：由已知，得eq \f(tan x＋3,3－tan x)＝5，解得tan x＝2，所以sin xcos x＋cos2x＝eq \f(sin xcos x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq \f(tan x＋1,tan2x＋1)＝eq \f(2＋1,22＋1)＝eq \f(3,5).答案：eq \f(3,5)10．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________．解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝－eq \f(m,2)，sin θcos θ＝eq \f(m,4)，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴eq \f(m2,4)＝1＋eq \f(m,2)，解得：m＝1±eq \r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq \r(5).答案：1－eq \r(5)B级　能力提升练11．已知eq \f(cos α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cos α,sin α－1)的值为(　　)A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)C.eq \r(3) D．－eq \r(3)解析：选B.因为eq \f(cos α,1＋sin α)＝eq \r(3)，所以eq \f(cos α,sin α＋1)＝eq \f(1－sin α,cos α)，所以eq \f(cos α,sin α－1)＝－eq \f(\r(3),3).故选B.12．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(　　)A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析：选D.作出α，β的图象如图，由三角函数线可知选D.13．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝eq \f(1,3)且－π<α<－eq \f(π,2)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝(　　)A.eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(1,3)C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)解析：选D.因为－π<α<－eq \f(π,2)，所以－eq \f(7π,12)<eq \f(5π,12)＋α<－eq \f(π,12)，故coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(2),3).14．已知在锐角△ABC中，角α＋eq \f(π,6)的终边过点P(sin B－cos A，cos B－sin A)，且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则cos 2α的值为(　　)A.eq \f(\r(3)－\r(2),6) B．－eq \f(\r(2),3)－eq \f(1,6)C.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),6) D．－eq \f(\r(6),3)－eq \f(1,6)解析：选D.∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞eq \f(π,2)⇒eq \f(π,2)＞B＞eq \f(π,2)－A＞0⇒sin B＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cos A，即sin B－cos A＞0，同理，cos B－sin A＜0，∴角α＋eq \f(π,6)为第四象限角，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(\r(6),3)，∴cos α＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(6),6)，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－eq \f(\r(6),3)－eq \f(1,6)，故选D.15．现有如下命题：①若点P(a，2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝eq \f(2\r(5),5)；②同时满足sin α＝eq \f(1,2)，cos α＝eq \f(\r(3),2)的角有且仅有一个；③设tan α＝eq \f(1,2)且π＜α＜eq \f(3π,2)，则sin α＝－eq \f(\r(5),5)；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)＞0(θ为象限角)，则θ在第一象限．则其中正确的命题是________．(将正确命题的序号填在横线上)解析：①中，当α在第三象限时，sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，故①错误；②中，同时满足sin α＝eq \f(1,2)，cos α＝eq \f(\r(3),2)的角为α＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，有无数个，故②错误；③正确；④θ可能在第一象限或第四象限，故④错误．综上选③.答案：③C级　素养加强练16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，eq \o(OP,\s\up6(→))的坐标为________．解析：如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq \o(PA,\s\up8(︵))＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq \f(π,2)，所以|PB|＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos 2，|CB|＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin 2，所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin 2，1－cos 2)．答案：(2－sin 2，1－cos 2)