高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.5《双曲线》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习检测卷：8.5《双曲线》 (教师版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级　基础夯实练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1　　　 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1C.eq \f(x2,10)－eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,10)＝1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，即双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，故选A.2．当双曲线M：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,2m＋6)＝1(－2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为(　　)A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)xC．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.3．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)C.eq \f(2,3) D．eq \f(3,2)解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq \f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq \f(1,2)|PF|·|AP|＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2).故选D.解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq \f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以eq \o(AP,\s\up10(→))＝(1，0)，eq \o(PF,\s\up10(→))＝(0，－3)，所以eq \o(AP,\s\up10(→))·eq \o(PF,\s\up10(→))＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq \f(1,2)|PF|·|AP|＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2).故选D.4．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)的最小值为(　　)A．6 B．3C.eq \r(6) D．eq \r(3)解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a,|PF1|－|PF2|＝2a′))，2a＝2a′＋4c，所以eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)＝eq \f(2a,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))＝eq \f(2a′＋4c,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))＝eq \f(2a′,c)＋eq \f(c,\a\vs4\al(2a′))＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A.5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \o(BA,\s\up10(→))＝2eq \o(AF,\s\up10(→))，且|eq \o(BF,\s\up10(→))|＝4，则双曲线C的方程为(　　)A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1解析：选D.不妨设B(0，b)，由eq \o(BA,\s\up10(→))＝2eq \o(AF,\s\up10(→))，F(c，0)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)＝1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(10,9)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,2)，①又|eq \o(BF,\s\up10(→))|＝eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16，②由①②可得，a2＝4，b2＝6，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1，故选D.6．已知点P，A，B在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为eq \f(1,3)，则双曲线的离心率为(　　)A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(15),3)C．2 D．eq \f(\r(10),2)解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)，所以eq \f(xeq \o\al(2,1),a2)－eq \f(yeq \o\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，两式相减得eq \f(xeq \o\al(2,1)－x2,a2)＝eq \f(yeq \o\al(2,1)－y2,b2)，即eq \f(yeq \o\al(2,1)－y2,xeq \o\al(2,1)－x2)＝eq \f(b2,a2)，因为直线PA，PB的斜率之积为eq \f(1,3)，所以kPA·kPB＝eq \f(y1－y,x1－x)·eq \f(－y1－y,－x1－x)＝eq \f(yeq \o\al(2,1)－y2,xeq \o\al(2,1)－x2)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，所以双曲线的离心率为e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(1,3))＝eq \f(2\r(3),3).故选A.7．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆eq \f(y2,n)－eq \f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为eq \f(y2,－3m)－eq \f(x2,－m)＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为eq \f(y2,n)＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：58．设F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为eq \f(1,2)c2，则该双曲线的离心率为________．解析：设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(b,a)x))，根据矩形的性质，得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，即x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)x))eq \s\up12(2)＝c2，则x＝a，所以M(a，b)．因为△AMN的面积为eq \f(1,2)c2，所以2×eq \f(1,2)×a×b＝eq \f(1,2)c2，所以4a2(c2－a2)＝c4，所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝eq \r(2).答案：eq \r(2)9．设P为双曲线x2－eq \f(y2,12)＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．解析：由题意可知，F1(－eq \r(13)，0)，F2(eq \r(13)，0)，|F1F2|＝2eq \r(13).设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(13)|y0|＝12.故yeq \o\al(2,0)＝eq \f(122,13)，将P点坐标代入双曲线方程得xeq \o\al(2,0)＝eq \f(25,13)，不妨设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(13),13)，\f(12\r(13),13)))，则eq \o(PF1,\s\up10(→))＝(eq \f(－18\r(13),13)，eq \f(－12\r(13),13))，eq \o(PF2,\s\up10(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(13),13)，\f(－12\r(13),13)))，可得eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝eq \f(π,2).答案：eq \f(π,2)10．已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且eq \o(MF,\s\up10(→))·eq \o(NF,\s\up10(→))＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．解析：因为eq \o(MF,\s\up10(→))·eq \o(NF,\s\up10(→))＝0，所以eq \o(MF,\s\up10(→))⊥eq \o(NF,\s\up10(→)).设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝eq \f(1,2)|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得eq \f(b,a)＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(2).答案：eq \r(2)B级　能力提升练11．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，0))且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M，N两点，若|MN|＝eq \f(4\r(2),3)c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)xC．y＝±2x D．y＝±4x解析：选B.由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，设垂直于直线l的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则直线l的斜率k1＝－eq \f(a,b)，直线l的方程为y＝－eq \f(a,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)a))，整理可得，ax＋by－eq \f(2,3)a2＝0，焦点(c，0)到直线l的距离d＝eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac－\f(2,3)a2))),\r(a2＋b2))＝eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac－\f(2,3)a2))),c)，则|MN|＝2eq \r(c2－d2)＝2eq \r(c2－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ac－\f(2,3)a2))\s\up12(2),c2))＝eq \f(4,3)eq \r(2)c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，即(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0，又双曲线的离心率e＞1，所以e＝eq \f(c,a)＝2，所以b＝eq \r(3)a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，故选B.12．已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为(　　)A.eq \r(5) B．2C.eq \r(3) D．eq \f(\r(5),2)解析：选A.如图，连接PF2，QF2.由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝eq \f(4,3)a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5)，故选A.13．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|＝eq \r(3)，则双曲线E的离心率是(　　)A．2eq \r(3) B．eq \r(5)C.eq \r(3) D．eq \r(2)解析：选C.如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2eq \r(3)，即a＝eq \r(3).因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，故选C.14．已知抛物线C1：y2＝8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是(　　)A．2 B．eq \r(3)C.eq \r(2) D．1解析：选D.抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有eq \f(8a,sin2 45°)＝16a＝16，a＝1，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c＝2，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，直线l的方程为y＝x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为eq \f(|－2|,\r(3＋1))＝1，选D.15．已知双曲线eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2＝25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________．解析：如图，∵F1M为圆的切线，∴OM⊥F1M，在直角三角形OMF1中，|OM|＝5.设双曲线的下焦点为F2，连接NF2，∴OT为△F1F2N的中位线，∴2|OT|＝|NF2|.设|OT|＝x，则|NF2|＝2x，又|NF1|－|NF2|＝10，∴|NF1|＝|NF2|＋10＝2x＋10，∴|TF1|＝x＋5.由勾股定理得|F1M|2＝|OF1|2－|OM|2＝132－52＝144，|F1M|＝12，∴|MT|＝|x－7|，在直角三角形OMT中，|OT|2－|MT|2＝|OM|2，即x2－(x－7)2＝52，∴x＝eq \f(37,7).又△OMT是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT|＝eq \f(37,7)，∴△MOT的外接圆的周长为eq \f(37,7)π.答案：eq \f(37,7)π16．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由e＝eq \f(c,a)＝2知，c＝2a，又c2＝a2＋b2，故b＝eq \r(3)a，所以A(0，eq \r(3)a)，C(0，－eq \r(3)a)，B(－a，0)，F(－2a，0)，则eq \o(BA,\s\up10(→))＝(a，eq \r(3)a)，eq \o(CF,\s\up10(→))＝(－2a，eq \r(3)a)，结合题图可知，cos∠BDF＝cos〈eq \o(BA,\s\up10(→))，eq \o(CF,\s\up10(→))〉＝eq \f(\o(BA,\s\up10(→))·\o(CF,\s\up10(→)),|\o(BA,\s\up10(→))|·|\o(CF,\s\up10(→))|)＝eq \f(－2a2＋3a2,2a·\r(7)a)＝eq \f(\r(7),14).答案：eq \f(\r(7),14)