天津市天津中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案与解析）

这是一份天津市天津中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案与解析），共15页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知M（7，3），N（﹣1，5）则线段MN的垂直平分线方程是 ．
2．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 ．
3．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3关于直线3x+5y+6＝0对称的圆的方程为 ．
4．若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣2m+3＝0恒过一定点，则该定点坐标为 ．
5．已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为 ．
6．若圆x2+y2＝4，与圆C：x2+y2+2y﹣6＝0相交于A，B，则公共弦AB的长为 ．
7．已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上任意一点，则的最大值是 ．
8．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是 ．
二、解答题（共7小题）
9．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
10．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|＝3|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率．
11．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若+＝10，求k的值．
12．（19分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
13．（19分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
14．（19分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求点D到直线EG的距离；
（4）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
15．（19分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（3）求点B1到平面D1AC的距离；
（4）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．
参考答案
一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）.
1．已知M（7，3），N（﹣1，5）则线段MN的垂直平分线方程是 4x﹣y﹣8＝0 ．
解：∵M（7，3），N（﹣1，5），
∴MN的中点坐标为（3，4），
kMN＝＝﹣，
∴线段MN的垂直平分线方程是：
y﹣4＝4（x﹣3），即4x﹣y﹣8＝0．
故答案为：4x﹣y﹣8＝0．
2．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 6π ．
解：平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，即 （x+1）2+（y+3）2＝9，
故该圆的半径为3，故该圆的周长为2π×3＝6π，
故答案为：6π．
3．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3关于直线3x+5y+6＝0对称的圆的方程为 （x+1）2+（y+4）2＝3 ．
解：设对称圆的圆心为（a，b），
则依题意，得，
解得a＝﹣1，b＝﹣4，
对称圆的圆心（﹣1，﹣4），半径为，
对称圆的方程为（x+1）2+（y+4）2＝3．
故答案为：（x+1）2+（y+4）2＝3．
4．若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣2m+3＝0恒过一定点，则该定点坐标为 （﹣，） ．
解：（m+2）x+（m﹣1）y﹣2m+3＝0整理可得：m（x+y﹣2）+2x﹣y+3＝0，恒过直线x+y﹣2＝0和2x﹣y+3＝0的交点，
联立方程组，解得：x＝﹣，y＝，即过定点（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
5．已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为 5 ．
解：根据题意，圆x2+y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r；
则圆心到直线x﹣y+8＝0的距离d＝＝4，
若|AB|＝6，则有r2＝d2+（）2＝16+9＝25，
故r＝5；
故答案为：5
6．若圆x2+y2＝4，与圆C：x2+y2+2y﹣6＝0相交于A，B，则公共弦AB的长为 ．
解：由题意AB所在的直线方程为：（x2+y2+2y﹣6）﹣（x2+y2﹣4）＝0，即y＝1，
因为圆心O到直线y＝1的距离为1，所以．
故答案为：
7．已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上任意一点，则的最大值是 ．
解：化圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，
可得圆心坐标为（1，2），半径为1．
又P（a，b）为圆C上任意一点，
则的几何意义为圆C上的动点与定点（﹣1，1）连线的斜率．
如图，
设过（﹣1，1）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1相切的直线方程为y﹣1＝k（x+1），
即kx﹣y+k+1＝0，
由，解得k＝0或k＝．
∴的最大值是．
故答案为：．
8．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是 18π ．
解：根据题意，直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0即m（x+y﹣1）+（x+2y﹣3）＝0，
，解可得，则直线l恒过定点（﹣1，2），设M（﹣1，2），
圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36，圆心C1为（2，﹣1），半径r＝6，|MC1|＝＝3，
若直线l与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，
当|AB|最小时，圆C2的面积的最小；
当MC1与直线l垂直，即M为AB的中点时，|AB|最小，
此时＝＝3，
此时圆C2的面积S＝（3）2×π＝18π，
故答案为：18π．
二、解答题（共7小题，10、11、12答题卡区域略小，做好规划）
9．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
解：（1）过点P（4，4）与直线l：3x+4y﹣28＝0垂直的直线m的斜率为k＝，
所以直线m的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣3y﹣4＝0．
由，解得C（1，0）．
所以r＝＝5．
故圆C的方程为：（x﹣1）2+y2＝25．
（2）①若过点Q（6，﹣15）的直线斜率不存在，即直线是x＝6，与圆相切，符合题意；
②若过点Q（6，﹣15）的直线斜率存在，设直线方程为y+15＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣15＝0，
若直线与圆C相切，则有＝5
解得k＝﹣．
此时直线的方程为﹣x﹣y﹣7＝0，即4x+3y+21＝0．
综上，切线的方程为x＝6或4x+3y+21＝0．
10．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|＝3|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率．
解：（Ⅰ）由题意可得，，F1F2＝2c，
因为2|AB|＝3|F1F2|，
所以，
整理可得a2+b2＝9c2，又a2＝b2+c2，
解得a2＝5c2，
所以＝；
（Ⅱ）设P（x1，y1），F1（﹣c，0），B（0，b），
因为线段PB为直径的圆经过点F1，
所以，
即（﹣c﹣x1，﹣y1）•（﹣c，﹣b）＝0，
所以c（c+x1）+by1＝0，
因为点P在椭圆＝1上，
则，
所以，
即＝，
令，
则，
整理可得21t2+10t﹣75＝0，即（3t﹣5）（7t+15）＝0，
解得或，均符合题意，
所以＝＝＝＝＝，
故或，
所以直线PB的斜率为﹣2或．
11．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若+＝10，求k的值．
解：（Ⅰ）由题意可得，，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，F（﹣1，0），，
过点F且斜率为k的直线方程为y＝k（x+1），
联立方程，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则，，
故＝k2（x1x2+x1+x2+1）＝，
又，
，
所以
＝
＝6﹣2x1x2﹣2y1y2
＝＝10，
整理可得，解得．
12．（19分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．
则，
而＝0．
所以B1C1⊥CE；
（Ⅱ）解：，
设平面B1CE的法向量为，
则，即，取z＝1，得x＝﹣3，y＝﹣2．
所以．
由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，
故为平面CEC1的一个法向量，
于是＝．
从而＝＝．
所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．
（Ⅲ）解：，
设 0≤λ≤1，
有．
取为平面ADD1A1的一个法向量，
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，
则＝
＝．
于是．
解得．所以．
所以线段AM的长为．
13．（19分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由已知可得，又a2＝b2+c2，
解得a＝3，b＝2，
∴椭圆的方程为：，
（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，
∴x2＝5x1，
易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．
由，可得＞0．
由，可得，
⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．
由＞0．可得k，故k＝﹣，
14．（19分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求点D到直线EG的距离；
（4）设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，GI，
因为四边形OBEF为矩形，
则EF∥OB且EF＝OB，
因为G，I分别是AB，AD的中点，
则GI∥BD且GI＝，
又O是正方形ABCD的中心，
则OB＝，
所以EF∥GI且EF＝GI，
则四边形EFIG是平行四边形，
故EG∥FI，
又FI⊂平面ADF，EG⊄平面ADF，
故EG∥平面ADF；
（2）解：以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面CEF的法向量为，
则，即，
令z＝1，则，
故，
因为OC⊥平面OEF，
则平面OEF的一个法向量为，
所以，
则二面角O﹣EF﹣C的正弦值为＝；
（3）解：因为，
则，
所以点D到直线EG的距离为＝；
（4）解：因为，
则，
设H（a，b，c），
则，
解得，
故，
所以＝，
故直线BH和平面CEF所成角的正弦值为．
15．（19分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（3）求点B1到平面D1AC的距离；
（4）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．
【解答】（1）证明：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
因为M，N分别为B1C，D1D的中点，
则，
由题意可知，是平面ABCD的一个法向量，
又，
所以，
又MN⊄平面ABCD，
故MN∥平面ABCD；
（2）解：由（1）可知，，，
设平面ACD1的法向量为，
则，
令z＝1，则y＝1，
故，
设平面ACB1的法向量为，
则，
令c＝1，则b＝﹣2，
故，
所以，
故二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为＝；
（3）解：因为，，
设平面D1AC的法向量为，
则，
令r＝1，则q＝1，
故，
所以＝，
设点B1到平面D1AC的距离为d，
则＝，
所以点B1到平面D1AC的距离为；
（4）解：由题意，设，其中λ∈[0，1]，
则E（0，λ，2），
所以，
又时平面ABCD的一个法向量，
因为直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，
则＝，
整理可得λ2+4λ﹣3＝0，
又λ∈[0，1]，解得λ＝或（舍），
故线段A1E的长为．