2020-2021学年河北省正定中学高一上学期第三次月考数学试题含答案

2020-2021学年河北省正定中学高一上学期第三次月考数学试题   

（总分：150分    考试时间：120分钟） 

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1集合，则（    ）

A．       B．      C．   D．

2.计算的结果是（    ）

A． B． C． D．1

3.已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件          B．必要不充分条件 

C．充要条件                D．既不充分也不必要条件

4.函数零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

5.已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．       B．       C.        D．

6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A．      B．     C．     D．

7.已知函数，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

8.设，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.设，，为实数且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．        B．    C．     D．

10.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

11.已知符号函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．对任意的，

C．函数的值域为 D．对任意的，

12.已知正数，满足，下列结论正确的有（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数的定义域是，则函数的定义域是______．

14.已知关于的方程的解集为，则______．

15已知函数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为______．

16.对于定义域为的函数,满足存在区间，使在上的值域为，求实数的取值范围______．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知角的终边经过点，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

18．（本小题满分12分）

已知函数，

（1）求不等式的解集；

（2）若函数，若关于的方程在有解，求的取值范围.

19．（本小题满分12分）

已知，且，

（1）求的值；

（2）求的值.

20．（本小题满分12分）

已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.

（1）求的表达式；

（2）若方程恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，恒成立，求的取值范围；

（2）若，是否存在实数，使得，都成立,请说明理由.

22．若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数．

（1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由；

（2）当函数时，证明：是对数型函数；

（3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数.若是，加以证明；若不是，请说明理由．

河北正定中学高一第三次月考答案（数 学）

1.由不等式，解得，可得集合，

由不等式，可得，解得，即集合，

根据集合的交集的运算，可得. 故选：B.

2. 故选：D

3.由，显然由 ，比如，又，比如，故“”是“”的既不充分也不必要条件，   故选：D

4.，，，

，

零点所在区间为故选：C.

5.为减函数，

为减函数，

为增函数，

   故选：A

6.由图知的定义域为，排除选项B、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除C，故选：A

7.恒成立，定义域为R，

，

其中单调递增，则单调递减，

，，

，

.  故选：D.

8.因为；

所以

．

当且仅当，时取等号，

的最小值为6．故选D.

9.对于，若，则，所以错误；

对于，因为，所以，故正确；

对于，函数的定义域为，而，不一定是正数，所以错误；

对于，因为，所以，所以正确.  故选：BD

10.解：因为，，函数图象如下所示：

，时，，，

，时，，，，；

，时，，，，，

当，时，由解得或，

若对任意，，都有，则．   故选：．

11.【详解】

A. 由函数的图象可知函数是奇函数，所以该选项正确；

B. 因为，所以对任意的，，所以该选项正确；

C. 当时，，因为此时，所以的值域为；当时，，因为此时，所以的值域为；当时，，因为此时，所以的值域为；所以函数的值域为，所以该选项错误.

D. 当时，；当时，；当时，，所以对任意的.所以该选项正确.

故选：ABD

12.设，则，，，

，，

又，所以，

，而，所以，A错；

则，B正确；

，当且仅当，即，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，，即，C正确；

因为，

所以，即，D正确．故选：BCD．

13.由题意，函数的定义域是，即，

则函数满足，解得，

即函数的定义域是.故答案为：.

14.解：因为关于的方程的解集为

所以、是方程的两个实数根，所以，

所以   故答案为：

15.解：函数，的图象如下‘

关于的方程有三个不同的实根．

则方程有两个不等实根，．

①时，，此时方程有两个不等实根1，，符合题意．

②时，，．   故答案为：．

16.解：若满足条件，因为函数在上是增函数，

即，所以a，b为方程的两个实数根，即在时有两个不同的根，

设，则，则方程等价于，在有两个不等的实根，

设，在，作出的图象，如图，

当时，，又，则的最小值为，

要使与有两个不同的交点，则，   故答案为：.

17.（1）由角的终边经过点，可知，            2分

则.                              4分

（2）根据三角函数的定义可得，            6分

所以

.                                            10分

18.（1）原不等式可化为，即，

所以原不等式的解集为                           4分

 （2）由，∴，       8分

当时，，，                     10分

                                                12分

19.（1）∵，

∴，，       3分

∵，∴，

∴，，

∴；                             6分

（2）由题意，，解得，，    9分

．     12分

20.（1）由题意，设，

因为过点，可得，解得，即，所以，

又因为为奇函数，可得，即，解答，

经检验，符合，所以.                4分

（2）由于为奇函数，所以由，

可得，

又因为在上递减，即，                  6分

显然，所以，令，则，      8分

又由当时，，当且仅当时，即时等号成立；

当时，，当且仅当时，即时等号成立，                            10分

方程有2个互异实数根，画出的图象,如图所示，

由图可得,实数的取值集合为或.          12分

21.（1），为上的奇函数，单调递减，

所以恒成立，

可得    

所以恒成立

即恒成立，                         2分

当时，该不等式恒成立，                        

当时，，

设，则

，

当且仅当，即时，等号成立，所以.                                            6分                        

（2）

所以，             8分

假设存在实数，使得和都成立，

设，，

则，

，                                          10分

若，则，解得，或，，均不是有理数，

若，则，其中，而，所以不成立，

综上所述，故不存在实数，使得，都成立. 12分

22.（1）由题，函数，

则

当，同号时，此时，

此时不满足，所以不是型函数．         4分

（2）因为恒成立，

要证对任意，，，

即证对任意，，，

即证对任意，，．

因为，

所以是对数型函数                                             8分

（3）函数是对数型函数．证明如下：

因为是型函数，所以对任意，，有，

又由对任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是对数型函数．                               12分