高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用示范课课件ppt

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      均值不等式1.给定两个正数a,b,数①         称为a,b的算术平均值;数②         称为a,b的 几何平均值.2.两个不等式
　　3.均值不等式与最值(1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为 ⑤　2     .(2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为 ⑥         .上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.运用以上结论求最值要注意下列三个条件:①一正:要求各数均为⑦　正数    ;②二定:要求和或积为⑧　定值    ;③三相等:要保证具备⑨　等号    成立的条件.
 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. (    ✕　)不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正实数(特殊时可取0)时成立.2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.(　√　)因为m>0,n>0,所以m+n≥2 =2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18.3.a+ 的最小值为2. (    ✕　)当a>0时,a+ ≥2 =2;当a0,b>0,则  ≥4. (　√　)
某房地产开发公司计划在某楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长 方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面 积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示). 
    如何理解均值不等式成立的三个条件
 问题1.设休闲区的长和宽的比 =x(x>1),求公园ABCD所占面积y关于x的函数关系式.提示:y=80  +4 160(x>1).2.要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?提示:利用均值不等式求解.
 利用均值不等式求最值时的注意事项1.各项均为正,都是负数时它们的相反数为正.2.寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值.3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图像找出最大(小)值.函数y=x + (a>0)的大致图像如图:
拔高问题3.若x2,如何求x+ 的最小值?提示:∵x>2,∴x-2>0,∴x+ =x-2+ +2≥2 +2=6,当且仅当x-2= ,即x=4(x=0舍去)时,等号成立.∴x+ 的最小值为6.
5.若x≥3,如何求函数y=x+ 的最小值?提示:若x>0,则y=x+ ≥2 =4,当且仅当x=2时取得最小值4,函数图像如图所示.由图像知,若x≥3,则当x=3时,y取得最小值 . 
破疑典例1.( )已知x-1,∴x+1>0,∴y= = =x+1+ +5≥2 +5=9,当且仅当x+1= ,即x=1(x=-3舍去)时,等号成立.∴当x=1时,函数y= (x>-1)取得最小值9.
3.( )若x>1,求函数y=x+ + 的最小值.思路点拨:思路一:将 变形为 ,然后把x+ 看作一个整体进行求解.思路二:当涉及分数时,通分是最容易想到的常规方法,通分后x+ = ,利用均值不等式即可求解.解析　解法一:y=x+ + =x+ + ,令u=x+ ,则u>2,所以y=u+ ≥8,当且仅当u= ,即u=4时,此时x=2+ ,等号成立.解法二:y=x+ + = + ≥2 =8,当且仅当 = ,即x=2+ 时,等号成立.
4.( )已知a>b>0,求a2+ 的最小值.思路点拨:分析目标式的特点,对目标式进行适当变形,然后利用均值不等式求最小值.解析　解法一:由于a2+ 中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,则b(a-b)≤ = ,这样就消去了字母b,因此a2+ ≥a2+ ≥4,当且仅当b=a-b,a2= ,即a= ,b= 时,等号成立.故a2+ 的最小值为4.解法二:注意到b+(a-b)=a,则[b+(a-b)]2=a2,则a2+ =[b+(a-b)]2+ ≥4b(a-b)+ ≥4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)= ,即a= ,b= 时,等号成立.故a2+ 的最小值为4.
已知x>0,y>0,且 + =1.问题1.怎样求x+y的最小值?提示:消元法或利用均值不等式求解.2.若将已知条件改为xy≠0,且 + =1,怎样求x+y的最小值?提示:先消元,再利用均值不等式求解.
利用均值不等式解决条件求值问题
 求含有条件的最大(小)值的基本方法1.代入消去一个变量,化为求只含一个变量的代数式的最大(小)值问题,解题时要 注意将消去变量的取值范围转化到保留的变量中.2.分析条件与结论的关系,利用关系解题,这种方法运算量小但技巧性强,平时要多总结.例如:常数代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
破疑典例1.( )已知a>0,b>0,若不等式 + ≥ 恒成立,则m的最大值为 (　　)A.9　    B.12　    C.18　    D.24思路点拨:先将不等式变形,再利用均值不等式求解.B　因为a>0,b>0,不等式 + ≥ 恒成立,所以m≤ .因为(a+3b) =6+ + ≥6+2 =12,当且仅当a=3b时取等号,所以m的最大值为12.故选B.
2.( )(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨:问题(1)既可以采用常数代换的方法,也可以进行变量代换,再利用均值不等式求 解;问题(2)既可以利用均值不等式求解,也可以采用变量代换的方法求解.解析　(1)解法一:x+y=(x+y)· =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当 即 时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2 .
解法二:由 + =1得x= ,∴x+y= +y= +y=a+ +y= +(y-b)+a+b.∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0,∴x+y≥2 +a+b,当且仅当 即 时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2 .
(2)解法一:由x+2y+xy=30,可得y= (0