2022届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(四)数学试题（含解析）

雅礼中学2022届高三月考试卷(四)

数学

一、单项选择题.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合即得解.

【详解】解：由题得，

所以.

故选：B

2. 复数与（其中，为虚数单位）的积是实数的充要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】计算，得到即得解.

【详解】解：是实数，

所以.

反过来，也成立

所以充要条件是.

故选：D

3. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；

对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，

即函数在其定义域R上单调递增，B正确；

对于C，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；

对于D，函数定义域是，它是奇函数，在和上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.

故选：B

4. 在的展开式中，的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为2求出展开式中项的系数．

【详解】解：的展开式的通项为，

令得，

故展开式中项的系数是.

故选：A

5. 已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】得到函数的定义域，然后计算，然后根据，可得结果.

【详解】由题可知：函数定义域为,

所以，故该函数为奇函数，排除A,C

又，所以排除D

故选：B

6. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再由齐次式即可求解.

【详解】

.

故选：C

7. “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，阶幻方（，）是由前个正整数组成的一个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，先列举出事件发生对应的基本事件，再列举出事件同时发生对应的基本事件，基本事件的个数比，即为所求的概率.

【详解】根据题意，事件包含的基本事件有：，，，，，，，；共个基本事件；

事件同时发生包含的基本事件有：，，，共个基本事件，

所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查求条件概率，属于基础题型.

8. 已知满足，，，若向量满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知相互垂直，设出，，根据题意可知终点在圆上运动，通过数形结合即可求出的取值范围.

【详解】满足，，，

设，

，

，，

，表示圆心为半径为的圆;

,

表示圆上的点到原点的距离，

，的取值范围是.

故选：C

二、多项选择题.

9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法中正确的有（    ）

A.  B.

C. 的数学期望为 D. 的方差为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正态分布的概念判断．

【详解】随机变量服从正态分布，则一般，但有，，，

故选：BC．

10. 已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（    ）

A. 圆锥的体积为

B. 圆锥的表面积为

C. 圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形

D. 圆锥的内切球表面积为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B、C；根据球的表面积公式可判断D.

【详解】

由题意圆锥的底面半径，圆锥的高，

所以圆锥的体积，故A正确；

圆锥的表面积，故B错误；

圆锥的侧面展开图是圆心角，故C正确；

，

作出圆锥内切球轴截面，设圆锥的内切球半径为，

四边形为正方形，

所以，解得，

圆锥的内切球表面积，故D正确.

故选：ACD

11. 在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（    ）

A. 若，则 B. 的最大值为

C.  D. 角的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.

【详解】对于A，由余弦定理可得，得，

故，A对；

对于B，由基本不等式可得，即，

当且仅当时，等号成立，

由余弦定理可得，

则，B对；

对于C，，则，

由余弦定理可得，，

所以，，整理可得，

则，C对；

对于D，由余弦定理可得，

当且仅当时，等号成立，

因为且函数在上单调递减，故，D错.

故选：ABC.

12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（　　）

A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数

C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根

【答案】AD

【解析】

【分析】

先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.

【详解】由题得函数的定义域为,

，

所以函数为偶函数，

当时，；

当时，；

当时，；

所以函数的图象如图所示，

所以函数的图象如图所示，

所以函数的值域是，故选项A正确；

由函数的图象得到不是周期函数，

故选项B不正确；

由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；

对于方程，

当时，，方程有一个实数根；

当时，，此时，此时方程没有实数根；

当时，，此时，此时方程没有实数根；

故方程只有一个实数根，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.

三、填空题.

13. 抛物线的准线方程为________．

【答案】

【解析】

【详解】抛物线的准线方程为；故填.

14. 已知直线和互相垂直，且，则的最小值为____________.

【答案】##

【解析】

分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.

【详解】解：由题得.

所以.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

15. 如下图所示，已知双曲线的左、右焦点为、，点为双曲线右支上一点，且的延长线交轴于，且，则的内切圆半径为____________.

【答案】

【解析】

【分析】利用双曲线的定义即可求解.

【详解】由，可得，

因，则,

所以为直角三角形，

所以的内切圆半径

.

故答案为：

16. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列进行构造，第次得到数列；第次得到数列；依次构造，第次得到数列；记，则___________，设数列的前项和为，则___________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据题意求出数列的递推式，然后利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出，再利用分组求和法可求出

【详解】，，，，可得，

所以

所以

所以，所以，

所以，

所以．

故答案为：70，

四、解答题.

17. 已知函数，.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由二倍角公式、两角和与差的正弦公式变形函数解析式为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求最小正周期；

（2）求出的范围，然后由正弦函数性质得出函数能取得最大值2时的的范围．

【小问1详解】

由已知

，

所以最小正周期是；

【小问2详解】

时，，

而在区间上的最大值为，则，，

所以的最小值是．

18. 已知正项数列的前项和为，且，(且).

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；

（2）利用裂项相消法即可求出答案．

小问1详解】

∵，

∴，

又，

∴，

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，

∴，∴，

当时，，

当时，，满足上式，

∴数列的通项公式为；

【小问2详解】

由（1）可知，，

，

∴当时，．

19. 如下图所示，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先证，，则有平面PBC，从而可得到本题结论；

（2）先找出所求的二面角的平面角为，然后在中通过解三角形,即可得解.

【小问1详解】

证明：由底面ABCD，得，

又，故为等腰直角三角形，

而点E是棱PB的中点，所以，

由题意知，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理得，

从而平面PAB，故．

因，，又平面PBC，

所以平面PBC．又因为平面,

所以平面平面.

【小问2详解】

解：由第1问知平面PAB，又，得平面PAB，故，

在中，，，

从而在中，，

在中，，又，

所以为等边三角形．取CE的中点F，连接DF，则，

因，且，则为等腰直角三角形，

连接BF，则，

所以为所求的二面角的平面角，

连接BD，在中，，，，

所以．

故二面角的平面角的余弦值为．

20. 在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植新型农作物.已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：

（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；

（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年的纯收入不少于30000元的概率.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先写出X的可能取值，再分别求出对应得概率，即可求出分布列；

（2）由（1）得出事件“种植该农作物一亩一年的纯收人不少于30000元”的概率，再由年数符合二项分布，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意知：

，，

，，

∴X的所有可能取值为：25000，34000，46000，

设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则，

B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则，

则，

，

，

∴X的分布列为：

【小问2详解】解：设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收人不少于30000元”，

则，

设这三年中有Y年有纯收入不少于30000元，

则有，

∴这三年中该农户种植该农作物一亩至多一年纯收入不少于3000元的概率为：

.

21. 过点作圆的切线，两切线分别与轴交于点，(在的左边)，以，为焦点的椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过点的直线与椭圆交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.

【答案】（1）；   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）设切线方程求得切线方程后得椭圆焦点坐标，从而得，再由求得，得椭圆方程；

（2）设直线方程为且，设，，记，直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得，注意由相交及三角形求出参数范围，然后表示出三角形的面积（其中点坐标是，代入上述，然后利用换元法求得最大值．

【小问1详解】

设切线方程为，则，解得，

所以切线方程为，它们与轴的交点为和，

设椭圆方程为，椭圆过点，则，，

所以椭圆方程为；

【小问2详解】

由（1）知，

直线斜率一定存在，设其方程为且，设，，记，

显然同号，

由，得，

，且，

，，

，

设，设，则，，

所以，

再设，则，

所以，所以，即时，，

所以取得最大值为．

此时直线方程为，即或．

22. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：有且仅有个零点.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）、求出，将代入即可求出切线斜率，再确定切点，然后利用点斜式即可求出切线方程；

（2）、先求出，令，确定的单调性和正负，确定的单调性及正负，从而得出零点个数.

【小问1详解】

，，，

又，在点处的切线斜率为.

曲线在点处的切线有程为.

【小问2详解】

，，

令，，

①、当时，，，在上单调递增，

又，时，时，在上单调递减，

又，是在上的唯一零点；

②、当时，，，

在上单调递减，

又，，

在上有唯一零点，其中，

当时，,在上单调递增;

当时，,在上单调递减;

而，，使，

当时，,，在上单调递增;

当时，,，在上单调递减;

而，，时，，在上无零点；

③、当时，，，在上单调递减，

，在上单调递减;

又，时，在上单调递减;

而，在上有一个零点；

④、当时，，，

，在上无零点；

综上所述：有且仅有个零点.