人教版新高考数学二轮复习课件--素养提升微专题(六)　非线性经验回归问题

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通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先选择合适的函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.
[例](2021·山东聊城模拟改编)个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日,第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》,公民依法诚信纳税是义务,更是责任.现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下.
制作时间代号x与个人所得税收入的散点图如图所示:
根据散点图判断,可用①y=menx与②y=px2+q作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程,经过数据运算和处理,得到如下数据:
以下计算过程中四舍五入保留两位小数.(1)根据所给数据,分别求出①②中y关于x的经验回归方程.(2)已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元,用2018年的数据验证(1)中所得两个经验回归方程,哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?(3)你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个经验回归方程更适宜?(只需叙述,不必计算)
解 (1)对于①,由y=menx,等式两边取自然对数得ln y=nx+ln m,设z=ln y,r=ln m,
(3)从统计学分析,这里从5组数据建立经验回归方程,数据较少,故应增加数据建立方程,再分析变换后的线性方程,根据残差及决定系数R2来检验拟合效果.
规律方法非线性经验回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图(或题目中已知散点图).(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程.(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性经验回归方程.
(2021·陕西西安二模改编)十四运期间,为提高智慧城市水平,某公交公司近期推出支付方式A和支付方式B扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(计十人次为1个单位,例如y=6表示60人次),统计数据如表所示.
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数),哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y与x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表所示
某公交公司车队为缓解周边居民出行压力,以90万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠.根据统计结果得知,使用扫码支付
9折优惠.预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车,根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,请你估计这批车辆需要几年(结果取整数年)才能盈利?
解 (1)根据散点图判断,在推广期内,y=c·dx(c,d均为大于零的常数),适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型.(2)根据(1)的判断结果y=c·dx,两边取对数得:lg y=lg c+x·lg d,其中
lg y=0.54+0.25x,y=100.54+0.25x=3.47×100.25x.当x=8时,y=100.54+0.25×8=3.47×102=347,活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.