八年级数学 培优竞赛 专题07 分式的化简与求值 讲义学案

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专题07   分式的化简与求值 阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．    解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形；4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题与求解【例l】 已知，则代数式的值为           ．                                              （“希望杯”邀请赛试题）  解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”． 【例2】  已知一列数且，，，则为（     ）A．648          B．832         C．1168          D．1944                                                                      （五城市联赛试题）  解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路． 【例3】 ．求．                                                                      （宣州竞赛试题）    解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．    【例4】 已知求的值．        （上海市竞赛试题）    解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．     【例5】 不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．    解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明．    （北京市竞赛试题）      【例6】 已知为正整数，满足如下两个条件：①   ②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形．      解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）       能力训练1．若，则的值是              ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知，则               ．（广东竞赛试题） 3．若且，则   的值为          ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知，则              ．5．如果，那么（      ）． A．1              B．2             C．              D．（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数都不为0，且，则的   值为（     ）． A．正数          B．负数          C．零             D．不能确定7．已知，则的值为（      ）． A．0            B．1              C．2              D．不能确定8．已知，则的值为（       ）A．1        B．        C．        D．9．设，求的值．       10．已知其中互不相等，求证．（天津市竞赛试题）       11．设满足，求证．（为自然数）（波兰竞赛试题）    12．三角形三边长分别为．（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若，判断这个三角形的形状并证明．     13．已知，求的值．        （“华杯赛”试题）    14．解下列方程（组）：（1）；        （江苏省竞赛试题）（2）；（“五羊杯”竞赛试题）（3）．         （北京市竞赛试题）   B级1．设满足，，若，，则            ．2．若，且，则           ．3．设均为非零数，且，则          ．4．已知满足，则的值为           ．5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（      ）．A．        B．        C．         D．6．如果，，那么的值为（      ）．A．3              B．8               C．16             D．207．已知，则代数式的值为（     ）．   A．1996             B．1997             C．1998            D．199998．若，则的值为（       ）．  A．               B．              C．5                 D．6（全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数满足．（1）求证：；（2）求的值．        （北京市竞赛试题）        10．已知，且．求的值．（北京市竞赛试题）      11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，  求证：．（天津市竞赛试题）     12．设，当时，求证：．（天津市竞赛试题）     13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？ （江苏省竞赛试题）