九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 辅助圆 讲义学案

第21讲    辅助圆

知识纵横

在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决。而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：

1、利用圆的定义添补辅助线；

2、作三角形的外接圆；

3、运用四点共圆的判定方法：

（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。

（2）同底同侧张等角的三角形，个顶点共圆。

（3）若四边形的对角线相交于P，且，则它的四个顶点共圆。

（4）若四边形的一组对边AB、CD的延长线相交于P，且,则它的四个顶点共圆。

例题求解

【例1】如图，四边形中 ，AB=AC=AD,E是CB的中点，AE=EC。则AB=         。

（鄂州市中考题）

思路点拨   有共同端点且相等，可用圆的定义画出图中隐藏的圆，从而可推导、为特殊角。

【例2】如图，若PA=PB，与交于点，且则(     ).

A.6           B.7          C.12        D.16

（“TI”杯全国初中数学竞赛题）

思路点拨    作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件。

【例3】如图，在中，，任意延长到，再延长到，使，求证：的外心与、、四点共圆。

思路点拨    先作出的外心，连接、，将问题转化为证明角相等。

【例4】如图，垂足分别为B、C。

（1），时，在线段上是否存在点,使？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；

（2）设,,，那么当、、之间满足什么关系时，在直线上存在点，使?            

（南京市中考题）

思路点拨    对于（2），点P在以AD为直径的上，又点P在BC上，表明与BC相交或相切。

旋转与圆

【例5】如图，已知正方形在直角坐标系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点。等腰直角三角板的直角顶点在原点，、分别在、上，且，。将三角板绕O点逆时针旋转至的位置，连接、。

（1）求证：;

（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得?若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由。  

 （潍坊市中考题）

【例6】如图，是外一点，PA切于，是的割线，于。求证：.             

（四川省联赛题）

分析   因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定与相似证明。，B、C、O、D共圆，这样连接OB，就得到多对相似三角形，以此达到证明的目的。

学力训练

基础夯实

1、如图，已知矩形和矩形全等，点、、在同一条直线上，的顶点在线段上移动，使为直角的点的个数是          个。

（陕西省中考题）

第1题                第2题                   第3题

2、如图，和的半径分别为1和2，连接，交于点P，=5.若将绕点P按顺时针方向旋转,则和共相切         次。

                                 （鄂尔多斯中考题）

3、如图，已知，且，则是的       倍。

4、如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米。如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿方向以73千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（     ）。

A.12秒          B.16秒         C.20秒       D.24秒

（2011年武汉市中考题）

5、如图，矩形中，，,点是折线段上的一个动点（点与点不重合），点是点关于的对称点。在点E运动的过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（      ）。

A.2个          B.3个       C.4个       D.5个

（济南市中考题）

6、如图，在中，弦于E点，弦于F，连接，与相交于点，则下列结论：①弧弧;②;③;④。其中正确的结论的个数有（       ）。

A.1个          B.2个       C.3个       D.4个

7、如图，已知中，，，,是边上的动点（与点、不重合），是边上的动点（与点、不重合）。

（1）当，且为的中点时，求线段的长；

（2）当与不平行时，可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段的长的取值范围；若不可能，请说明理由。      

（广州市中考题）

8、如图，已知中，是高，是角平分线，且，。求证：（1）；（2）。        

（陕西省竞赛题）

能力拓展

9、如图，正方形的中心，面积为1989，为正方形内一点，且,则的长为         。

（北京市竞赛题）

10、如图，在中，边上有100个不同的点、、...，记，则         。

11、如图，在四边形中，，若，则         ；         。

（第20届江苏省竞赛题）

12、如图，为半圆的直径，为半圆上一点，点在的延长线上，且连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则        .

（第19届江苏省竞赛题）

13、如图，已知在凸五边形中，且求证：

（全国初中数学联赛题）

14、如图，是外一点，和是的切线，、为切点，与交于点，过任作的弦。求证：。

综合创新

15、如图，、分别是的角平分线、高线，是的中点，的外接圆与交于点，证明：

（2011年四川省竞赛题）

16、如图，在中，分别在边、上取点、，使得试确定的度数。

（北京市竞赛题）