九年级数学 培优竞赛新方法-第22讲 几何最值 讲义学案
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这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第22讲 几何最值 讲义学案,共8页。
几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有:
1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置,确定最值的具体数据,在进行一般情况下的推证。
2.几何定理(公理)法:应用几何中的不变量性质、定理.
3.数行结合法:揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解
【例1】 如图,在锐角中,,,的平分线交于点,点、分别是和上的动点,则的最小值 。
(陕西省中考题)
例1
思路点拨 画折线为直线,综合运用轴对称、垂线段最短等知识。
【例2】 如图,在中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF的最小值( )。
A. C.5 D4.8
(兰州市中考题)
例2
思路点拨 设O与AB相切与T,连OC、OT,EF为O直径,则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT的最小值。
【例3】 如图,正方形的边长为4cm,点是边上不与点B、C重合的任意一点,连接AP,过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为cm,CQ的长为cm.
求点P在BC上运动的过程中y的最大值;
当cm时,求的值.
(河南省中考题)
思路点拨 利用相似形建立与的函数关系式,由此导出的最大值
例3
【例4】 如图,已知平行四边形ABCD,AB=a,BC=b(a>b),P为AB边上的一动点,直线DP交CB的延长线于Q,求AP=BQ的最小值.
(永州市竞赛题)
思路点拨 设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示,运用不等式或(当且仅当a=b时取等号)来求最小值.
例4
例5
【例5】 如图,在四边形ABCD中,AD=DC=1,∠DAB=∠DCB=90,BC、AD的延长线交于P,求AB·S△PAB的最小值.
图形折叠
【例6】 在等腰中,==5,=6.动点、分别在两腰、上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN//BC,将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.
当为何值时,点恰好落在上?
(2)设,与等腰重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?.
(2011年宁夏中考题)
例6
学力训练
基础夯实
如图,菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_______。
第1题
(荆门市中考题)
如图,将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值,那么菱形周长的最大值是________。
第2题
(烟台市中考题)
动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A处,折痕为PQ.当点A在BC边上移动时,折叠的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______。
(河南省中考题)
第3题
4.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=4,BC=8。点N在上,CN=2,E是AB中点,在AC上找一点M,使EM+MN的值最小,此时最小值一定等于( )。
A. 6 B.8 C.4 D.
第4题
(呼和浩特市中考题)
5.如图,在等腰中, ,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、边上运动,且保持AD=CE,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DEF是等腰三角形;②四边形CDFE不可能为正方形;③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )。
A.①②③ B.①④⑤ C.①③④ D.③④⑤
第5题
(重庆市中考题)
6.如图,已知A(-3,0),b(0,-4),P为双曲线()上任意一点,过P作PC⊥X轴于C点,PD⊥Y轴于D点,则四边形ABCD面积的最小值为( )。
A.22 B.23 C.24 D.26
第6题
(杭州市中考题)
如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:AC•CD=PC•BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.
(荆门市中考题)
第7题
8.工程师有一块长AD为12分米,宽AB为8分米的铁板,截去了长AE=2分米,AF=4分米的直角三角形,在余下的五边形中结的矩形MGCH,M必须在线段EF上.
(1)若截得矩形MGCH的面积为70平方分米,求矩形MGCH的长和宽.
(2)当EM为多少时,矩形MGCH的面积最大?并求此时矩形的周长.
(鄂州市中考题)
第8题
能力拓展
9.如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF长度的最小值是___________。
第9题
(“新知杯”上海市竞赛题)
10.如图,已知边长为2的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,则OC长的最大值是_______________。
第10题
(潍坊市中考题)
11.如图,已知矩形ABCD中,AB=12,AD=3,E、F分别为AB、DC上的两个动点,则AF+FE+EC的最小值为________。
(四川省竞赛题)
第11题
12.已知凸四边形ABCD中,AB+AC+CD=16,那么AC=______、BD=________时,四边形ABCD面积最大,最大值是_______。
(第九届“华杯赛”试题)
13.已知△ABC的内切圆半径为r,角A=60°,BC=2根号3,则r的取值范围是______。
(第13题)
(第19届江苏省竞赛题)
14.如图,△ABC的面积为1,点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上,BD<DA,DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB.则梯形DEFG面积的最大可能值为__________。
第14题
(上海市竞赛题)
15.如图,已知∠MON=40°,P是∠MON中的一定点,点A、B分别在射线OM、ON上移动,当△PAB周长最小时,求∠APB的的值为( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
第15题
(武汉市竞赛题)
16.直线被以为圆心、为半径的圆所截的最短弦长为( )
A. B. C. D.
(2011年武汉市中考题)
17.如图.y的正半轴上有两点A(0,a),B(0,b),其中b>a>0,在x轴正半轴上取点C,使角ACB最大,求C坐标.
(河北省竞赛题)
18.如图,正方形ABCD的边长为1,点M、N分别在BC、CD上,使得△CMN的周长为2.
求:(1)∠MAN的大小;
(2)△MAN面积的最小值.
第18题
(“宇振杯”上海市竞赛题)
综合创新
19.如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α=度时,点P到CD的距离最小,最小值为.
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=度,此时点N到CD的距离是.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数据:)
第19题
20.如图,在正方形ABCD内,已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切,且⊙O1与边AB、AD相切,⊙O2与边BC、CD相切.若正方形ABCD的边长为1,⊙O1与⊙O2的半径分别为r1,r2.
①求r1与r2的关系式;
②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值.
(Ⅱ)如图2,若将(Ⅰ)中的正方形ABCD改为一个宽为1,长为的矩形,其他条件不变,则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值,若不存在,请说明理由;若存在,请求出这个最小值.
第20题
(天津市竞赛题)
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