九年级数学 培优竞赛新方法-第23讲 几何定值 讲义学案

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第23讲  几何定值 知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。 例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接中，，为圆的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的.
（2）如图2，若保持角度不变，求证：绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．（广东省中考题）思路点拨   对于（1），连，则要证明，只需证明；对于（2），类比（1）的证明方法证明。 【例2】如图，⊙和⊙外切于点，是⊙和⊙的公切线，为切点．
（1）求证：；
（2）过点的直线分别交⊙和⊙于点，且是连心线时，直线DB与直线交于点．请在图中画出图形，并判断与是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线绕点旋转（不与点重合），请另画出图形，并判断与是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨   按题意画出图形，充分运用角的知识证明若，则这一位置关系不变。          【例3】如图，定长的弦在一个以为直径的半圆上滑动，是的中点，是对作垂线的垂足，求证：不管滑到什么位置，是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）  思路点拨   不管滑到什么位置，弧及的度数都是定制，从探寻与的关系入手。 【例4】如图，扇形的半径，圆心角，点是弧上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当点在弧上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：是定值．（广州市中考题）  思路点拨   对于（3），设法把用的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。 【例5】 如图，已知等边内接于圆，在劣弧上取异于的点，设直线与相交于，直线与相交于点，证明：线段和的乘积与点的选择无关．（湖北省竞赛题）思路点拨   即要证是一个定值，在图形中的边长是一个定值，说明与有关，从图知为与的公共边，作一个大胆的猜想，，从而我们的证明目标更加明确． 以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，⊙交x轴于两点，交轴于两点，且为弧的中点，交轴于点，若点的坐标为．

（1）求点的坐标；
（2）连接，求证：；
（3）如图2，过点作⊙的切线，交轴于点．动点在⊙的圆周上运动时， 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．（深圳市中考题）学力训练基础夯实阅读下列材料，然后解答问题．
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．
如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙，⊙的面积为，正四边形的面积为，以圆心为顶点作，使，将绕点旋转，分别与⊙相交于点，分别与正四边形的边相交于点．设由弧及正四边形的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为.（1）当经过点时（如图①），则之间的关系为：            （用含、的代数式表示）；
（2）当时（如图②），点为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；
（3）当旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．（邵阳市中考题）   如图，在等腰三角形中，为底边的中点，以为圆心作半圆与相切，切点分别为．过半圆上一点作半圆的切线，分别交于．求证：为定值。      3．  如图，已知等边三角形的周长为，为其内任一点，于，于，于。求证：（1）为定值；（2）为定值。（三明市中考题）        4. 已知半径为的⊙经过半径为的⊙的圆心，⊙与⊙交于两点．
（1）如图1，连接交⊙于点，并延长交⊙于点，过点作⊙的切线交⊙′于两点，求的值；
（2）若点为⊙上一动点．
①当点运动到⊙内时，如图2，过点作⊙O的切线交⊙O′，于两点，则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点运动到⊙外时，过点C作⊙的切线，若能交⊙于两点，如图3，则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．（济南市中考题）
          能力拓展5. 如图，内接于圆的四边形的对角线与垂直相交于点，设圆的半径为，求证：（1）是定值；（2）是定值。   6. 如图，已知为正方形的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值。     7. 如图，已知为直角三角形，，点在轴上，点坐标为，线段与轴相交于点，以为顶点的抛物线过点．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，试证明：为定值．（湘潭市中考题）8. 如图所示，四边形是矩形，点的坐标分别为，点是线段上的动点（与端点不重合），过点作直线交折线于点．
（1）记的面积为，求与的函数关系式；
（2）当点在线段上时，若矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．（广州市中考题）综合创新9. 如图1所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点，直线与⊙相切于点，交轴于点，交轴于点．
（1）请直接写出，⊙的半径，的长；
（2）如图2所示，弦交轴于点，且，求的值；
（3）如图3所示，点为线段上一动点（不与重合），连接交⊙于点，弦交轴于点．是否存在一个常数，始终满足？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
 （深圳市中考题）        10. 小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于两点，请解答以下问题：
（1）若测得 （如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，小明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
 （2011年株洲市中考题）