九年级数学 培优竞赛新方法-与圆相关的阴影面积的计算 讲义学案
展开与圆相关的阴影面积的计算
与圆相关的阴影面积的计算，解题的关键是将不规则图形转化为可解的规则图形面积的计算，在转化过程中常用到下列方法：图形割补、图形变换、等积代换、方程思想、对称观念等。
【例1】
（1）如图①，一个半径为的圆经过一个半径为的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为
（2）如图②，是⊙的直径,是⊙的直径，弦,且与⊙相切于点，若⊙的半径为，则阴影部分的面积是
（2011年十堰市中考题）
思路点拨 把不规则图形阴影部分面积表示为规则常见图形面积的和差。
【例2】（1）如图①，是直角三角形边长为的等腰直角三角形，直角边是半圆的直径，半圆过点与半圆相切，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
（绵阳市中考题）
（2）如图②，是半径为的⊙外的一点，，是⊙的切线，点是切点，弦，连接．则图中阴影部分面积等于（ )
A. B. C. D.
思路点拨 对于（1），连接，通过分割，；对于（2），连接，由等积代换,阴影部分的面积等于常见图形的面积。
【例3】如图，正方形的边长为，分别以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径，在正方形内画圆弧，求图中阴影部分的面积。
（江西省竞赛题）
分析 由图形的对称性，设正方形的各部分面积分别为，从如下方面寻找等量关系：
（1）正方形的面积
（2）圆心角为的扇形面积
（3）由线段围成的曲边三角形的面积。
【例4】如图，一个圆形花坛分成了三个区，四个小圆两两相关的公共部分是中心区，四个小圆以外的部分是外围区，中心区栽花，外围区种草，试比较的面积大小。
分析与解 的面积看似没有关联，而圆是对称圆形，图中又隐含信息，由此可得意想不到的结果。
把图沿大圆对折，即能发现快的面积相等，快的面积也相等，下面从总体上看中间个与外沿个的面积是否相等。因为图中大圆的半径等于小圆半径的倍，所以大圆面积等于个小圆面积的和，而个小圆重叠部分的面积，应与个小圆在大圆中的空隙相等，所以与的面积相等。
练习
- 如图，中，，将绕点逆时针旋转后得到,点经过的路径为弧.则图中阴影部分的面积是 。
（2011年成都市中考题）
- 如图，矩形中，,以的长为半径的⊙交于点，则图中阴影部分的面积为
（河南省中考题）
- 如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，则正方形与其外接圆之间形成的每个弓形的面积为 ．
（2011年芜湖市中考题）
- 如图，是⊙的直径，弦，垂足为点，，分别以为直径作两个大小不同的⊙和⊙，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
（2011年台州市中考题）
- 如图，点是反比例函与⊙的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
（深圳市中考题）
- 如图，为半圆的直径，点为上一动点，动点从点出发，沿匀速运动到点，运动时间为，分别以与为直径做半圆，则图中阴影部分的面积与时间之间的函数图象大致为（ ）
A． | B． | C． | D． |
（烟台市中考题）
- 如图，边长为的正，分别以顶点为圆心，为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（ ）
- B. C. D.
（全国初中数学联赛题）
- 如图，四个半径为的小圆都过大圆圆心且与大圆相内切，阴影部分的面积为（ ）
（2011年南宁市中考题）
- 如图1，已知在⊙中，点为劣弧上的中点，连接并延长至，使，连接并延长交⊙于点，连接．
（1）求证：是⊙的直径；
（2）如图2，连接，⊙半径为，的长为，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
（2011年深圳市中考题）
- 在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 ．
（江西省竞赛题）
- 已知四边形是边长为的正方形，以为直径在正方形内作半圆，是半圆上的动点（不与点重合），连接．
（1）如图①，当的长度等于 时，；当PA的长度等于 时，是等腰三角形；
（2）如图②，以边所在直线为轴、边所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系（点即为原点），把的面积分别记为．设点坐标为，试求的最大值，并求出此时的值．
（2011年苏州市中考题）
九年级数学 培优竞赛新方法-圆的翻滚 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-圆的翻滚 讲义学案，共6页。
九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 圆与圆 讲义学案，共11页。
九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 辅助圆 讲义学案： 这是一份九年级数学 培优竞赛新方法-第21讲 辅助圆 讲义学案，共8页。
