八年级数学 培优竞赛 专题27 面积法 讲义学案

   专题27  面积法

阅读与思考

     平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．           

     所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．

    用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．

   下列情况可以考虑用面积法：

（1）涉及三角形的高、垂线等问题；

（2）涉及角平分线的问题．

例题与求解

    【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．

    (全国初中数学联赛试题)

    解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．

    等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？

   【例2】 如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于(    )

       A．3：1                       B．2：1

       C．3：2                       D．5：3

解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．

    【例3】  如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.

    （长春市竞赛试题）

    解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．

【例4】 如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.

        求证：（1）；

             （2）.                              （南京市竞赛试题）

       解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.

【例5】  如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.

    解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.

（黄冈市竞赛试题）

    【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．

    （河北省竞赛试题）

    解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．

线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：

    (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；

    (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；

    (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．

能力训练

    1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.

（福建省中考试题）

2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝ 2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则

CE＝__________.

（南宁市中考试题）

      第1题图                  第2题图                      第3题图

    3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.

（江苏省竞赛试题）

     4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________.                     （上海市竞赛试题）

    5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.

（全国竞赛试题）

    6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 (     )．

     A.         B.        C.           D.

（湖北省黄冈市竞赛试题）

      第5题图                  第6题图                      第7题图

    7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是(     )．

     A．2           B.             C.3          D.

    8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是(     )．

    A. +=               B.+=

C. +=               D．+=

    9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.

请直接用上述信息解决下列问题：

    当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．

    （黑龙江省中考试题）

    10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值． 

（“希望杯”邀请赛试题）

    11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.

（加拿大数学奥林匹克试题）

    12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.

(1) 求△DEF与△ABC的面积比；

(2) 求△PDF与△ADF的面积比；

(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.

13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB ，BC，CD ，DA至E，F，G，H，使，

若，求的值．                            （上海市竞赛试题）

14. 如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．

  （梅涅劳斯定理）

15．如图，在△ABC中，已知，求的值.

（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）