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    八年级数学 培优竞赛 专题28 整体与完形 讲义学案
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    八年级数学 培优竞赛 专题28 整体与完形 讲义学案

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    专题28  整体与完形

     

    阅读与思考

    许多几何问题,常因图形复杂、不规则而给解题带来困难,这些复杂、不规则的图形,从整体考虑,可看作某种图形的一部分,如果将它们补充完整,就可得到常见的特殊图形,那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题,这就是解几何问题的补形法,常见的补形方法有:

    1. 将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形;
    2. 将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形;
    3. 将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形:

                  

    例题与求解

    【例1如图,已知CDAFCDEBAFABBCEC,则AFE_________.                                                             (北京市竞赛试题)

    解题思路:有平行的条件,不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.

                                                 

     

    【例2  分别是ABC的三边长, 且满足,则它的内角AB的关系是(     .

      A.B2A          B.B2A          C.B2A         D.不确定

    (全国初中数学竞赛试题)

    解题思路:从化简已知等式入手,并补出相应的图形.

     

     

     

     

     

    【例3如图1BDCE分别是ABC的外角平分线,过点AAFBDAGCE,垂足分别为FG,连结FG,延长AFAG,与直线BC相交,易证.

    若(1BDCE分别是ABC的内角平分线(如图2);(2BDABC的内角平分线;(3CEABC的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下,线段FGABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.

    (黑龙江省中考试题)

    解题思路:既有平分线又有垂线,联想到等腰三角形性质,考虑将图形补成等腰三角形.

     

     

     

    【例4如图,四边形ABCD中,ABCBCDABBC

    CDAD的长.                                             (全国初中数学竞赛试题)

    解题思路:由于四边形ABCD是一般四边形,所以直接AD比较困难,应设法将AD转化为特殊三角形的边.

                     

                           4题图                         例5题图    

        【例5  如图,凸八边形中,试证明:该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.

    (山东省竞赛试题)

    解题思路:本例是一个几何定值证明问题,关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决,若连结对角线,则会破坏一些已知条件,应当考虑向外补形.

     

     

       【例6 如图ABC中,ABC,点D在边BC上,ADC,且.ACD以直线AD为轴作轴对称变换,得到连结.

    (1) 证明:;

        (2) C的大小.

    (全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题)

    解题思路:本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.

                                                                                   

     

    能力训练

    1.如图,在四边形ABCD中,ACABAD,若这个四边形的面积为12,则BCCD_____________.                                                         (山东省竞赛试题)

    2. 如图,凸五边形ABCDE中,ABEAABBCCDDE则这个五边形的面积为_______________.

    (美国AHSME试题)

    3. 如图,一个凸六边形六个内角都是,其中连续四条边的长依次为,则该六边形的周长为______________.

        

    4. 如图,ABCDEF是正六边形,MN分别是边CDDE的中点,线段AMBN相交于P,则

     

    _________.                                                    (浙江省竞赛试题)

     

    5. 如图,长为的三条线段交于O点,并且则三个三角形的面积和__________(填,或.

    希望杯邀请赛试题)

    6. 如图,在四边形ABCD中,ABDBCCDAB(      ).

        A.             B.                C.                D.

    (广西壮族自治区中考试题)

        

    1. 如图,ABC中,MBC中点,AN平分AANBNN,且ABACMN等于(     .

      A.            B.            C.               D.

    8. 如图,在四边形ABCD中,ABBCABCCDABEADE,则BE的长为(    

      A.            B.           C.               D.

       

    9. 如图,在四边形ABCD中,ABBCCDBCD等于(    

       A.         B.         C.         D.条件不够,无法求出

    (重庆市竞赛试题)

     

    10. 如图,ABC中,EAC中点,DBC边上一点,若BCABCBACCED,求的值.

                                                   

    11. 如图,设的斜边长,是直角边,求证:.

    (加拿大中学生竞赛试题)

    12. 如图,已知八边形ABCDEFGH所有的内角都相等,而且边长都是整数.求证:这个八边形的对边相等.

                                                      

    13. 如图,设PABC的中位线DE上的一点,BPACNCPABM,求证:.

    (齐齐哈尔市竞赛试题)

                                                         

    14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是,另四条边长是,求八边形的面积.

     

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