八年级数学 培优竞赛 专题17 等腰三角形的判定 讲义学案

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专题17    等腰三角形的判定例1 延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连BP，则△BMP≌△CMF，∴BP=CF.∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)= (7+11)=9.例2   D例3 提示：△EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：△ADE≌△BAC.∴AD=AB， 又∠DAB=90°.又∵M为BD中点，∴AM⊥DB且DM=BM=AM. 又∵∠MDE=∠MAC=105°，∴△EDM≌△CAM. ∴EM=MC，∠DME=∠AMC ，∴∠DME+∠EMA=∠AMC +∠EMA=90°.∴△EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，故AF=EF.例5  提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO= AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.A级1.90°或75°或15°       2.72°       3.2        4.375.D         6.D  提示：将三式相加     7.D        8.C9.⑴先证△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.⑵△ACF为等腰三角形.10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明∠E=∠C，AC=AE.11. 提示：证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.12. ⑴提示：先证明∠CEF=∠CFE.⑵作EG⊥AC于G，证明△CEG≌△BE´D´，可得CE= BE´，又CF=CE，BE´=CF.B级1.2:1         2.110°        3.10       4.D5.C  提示：在五边形内作等边三角形ABF，则E、F、C在一条直线上.6.B7.  提示：⑴    ⑵ 在BB´上取点P，使∠BPC=120°，再在PB´上取点E使PE=PC，连结CE. 则由△PCE为等边三角形，可得：PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB´=120°∵△ACB´为正三角形，∴可证：△ACP≌△B´CE. ∴∠APC=∠B´EC=120°，PA=EB´.∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，∴P为△ABC的费马点.∴BB´过△ABC的P，且BB´=EB´+PB+PE=PA+PB+PC.8.  提示：延长AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.∴AQ+QB=AQ+QC=AC，又由△AMP≌△ACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.9.  提示：延长FM至P，使PM=FM，连结BP，则△BMP≌△CMF，AE=AF，BE=BP.10.  提示：当D为BC的端点，显见△AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连接DF，易证△CDF为等边三角形，又△ADF≌△EDC，故△ADE为等边三角形．猜测：当D为BC上任意点时，△ADE也为等边三角形．11．（1）；（2）过点C作CH⊥y轴于H，证明△AOB≌△BHC即可；（3）符合条件的P点共有5个，分别为．12．提示：（1）B(8，0)；       （2）如图a，过A作AS⊥OB于S，过D作DT⊥x轴于T．∵△OAB为等腰直角三角形，∴OS=AS=BS，再由△ASC≌△CTD，可得：AS=CT，SC=TD．∴CT=AS=OS，∴OT=CS=TD．∴∠TOD=45°，则∠AOD=90°；（3）等式成立，理由如下：如图b，在AM上截取AS=OF，连ES，可证△EAS≌△EOF，可得：ES=EF，∠AES=∠OEF∴∠SEF=∠AEO=90°，∴∠FEM=∠SEM=45°．又∵EM=EM，∴△EFM≌△ESM，∴FM=SM，∴AM=AS+SM=OF+FM，∴．