八年级数学 培优竞赛 专题16 等腰三角形的性质 讲义学案

专题16  等腰三角形的性质

例1  45°

例2  提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD

例3  提示：延长BC，AE交于一点.、

例4  提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°，

∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM

又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.

例5  如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1， ∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.

例6  解法1  如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°， ∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE， 则AO=CO，∠OCA=∠OAC， ∠COE=2∠ACO， ∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.

解法2  如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC.

∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，

∴∠DCE=∠CED=×（180°－46°）=67°

∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°

∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC.

∴梯形ADCE为等腰梯形

∴AC=DE（等腰梯形对角线相等），

∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.

A级

1.  67.5°或22.5°  2.75°  3.60°  4.8  5.A  6.B  7.B 

8.D  提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.

9.  提示：过D作DF∥AC交BC于F，证明△DFG≌△ECG.

10.  提示：延长CE交BA的延长线于F，证明△BEC≌△BEF，再证明△AFC≌△ADB.

11.  提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD≌△FBD，

图3不成立，此时

12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D，连BD，则△ABD≌△ACD，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，从而△ABD≌△OBD，AB=OB，即△ABO为等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°

B级

1.40°  2.①②③  提示：连AP.3.  60°提示：设∠CAN=∠BAM=α，∠MAN=β，则∠C=∠BAC=2α+β，∠AMN=β

4.  D    5.A     6.D

7. 提示：延长BD到F，使DF=BC，则△BEF为等边三角形，再证明△BCE≌△FDE

8.⑴证明略；⑵由①得C´D=AC=AB´，由②得DB´=BA=C´A，又AD=AD，∴△AC´D≌△DB´A；⑶S△AB´C＞S△ABC´＞S△ABC＞S△A´BC，S△ABC+ S△ABC´= S△AC´B+ S△A´BC

9.满足题意的图形有以下四种情形：

10.提示：在△ACD内以CD为边作等边△ECD，连AE，则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠CAD=15°，又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°，∴∠CAE=∠BCD=∠ECA. 又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC=15°. ∴∠DCB=∠DBC，∴DC=DB.

11.设，，因BH＜BA，BK＜BC，故mn＜4，得；；；；

①当m=n=1时，BH=BC，BK=AB，△ABC是等边三角形.

②当m=1，n=2时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形.

③当m=1，n=3时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为120°的等腰三角形.

④当m=2，n=1时，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形.

⑤当m=3，n=1时，△ABC是以∠C为120°的等腰三角形.