2021年辽宁省本溪市中考数学试卷-（含答案解析）

2021年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 下表是有关企业和世界卫生组织统计的种新冠疫苗的有效率，则这种疫苗有效率的中位数是

A.  B.  C.  D.

6. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 如图为本溪、辽阳月日至日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这天最低气温波动情况是

A. 本溪波动大 B. 辽阳波动大
C. 本溪、辽阳波动一样 D. 无法比较

8. 一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在矩形中，，，动点沿折线运动到点，同时动点沿折线运动到点，点，在矩形边上的运动速度为每秒个单位长度，点，在矩形对角线上的运动速度为每秒个单位长度设运动时间为秒，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 分解因式：______．
13. 有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，从中随机抽取一张，则抽出卡片上写的数是的概率为______ ．
14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．
15. 为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多元，用元购买种奖品的数量与用元购买种奖品的数量相同设种奖品的单价是元，则可列分式方程为______ ．
16. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点和点，则 ______ ．
    
     

17. 如图，是半圆的直径，为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．

18. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：；；平分；，正确的是______ 填序号即可．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

19. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为迎接建党周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动竞赛项目有：回顾重要事件；列举革命先烈；讲述英雄故事；歌颂时代精神学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
    
    本次被调查的学生共有______ 名；
    在扇形统计图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为______ ，并把条形统计图补充完整；
    从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元．
    求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
    该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共本，总费用不超过元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．
    求无人机的高度结果保留根号；
    求的长度结果精确到．
    参考数据：，，，

23. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为元时，每星期卖出个如果调整销售单价，每涨价元，每星期少卖出个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
    请直接写出个与元之间的函数关系式；
    当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是元？
    当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
    求证：是的切线；
    若，，，求的长．
    
     

25. 在▱中，，平分，交对角线于点，交射线于点，将线段绕点顺时针旋转得线段．
    如图，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；
    如图，当时，过点作于点，连接，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
    当时，连接，若，请直接写出与面积的比值．

26. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是抛物线第一象限上的一动点，过点作轴于点，交于点．
    求抛物线的解析式；
    如图，作于点，使，以，为邻边作矩形当矩形的面积是面积的倍时，求点的坐标；
    如图，当点运动到抛物线的顶点时，点在直线上，若以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点纵坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的定义，就属于基础题．
由，可得答案．
【解答】
解：由，
可得的相反数是．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，故此选项不符合题意；
B.，计算正确，故此选项符合题意；
C.，故此选项不符合题意；
D.，不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算，从而作出判断．
本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则准确计算是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：

故选：．
根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是画三视图的前提，理解能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，其中处在第位为中位数．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了中位数的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
 

6.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象分别位于第二、四象限，
，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：．
根据反比例函数的图象经过第二、四象限可判断出的符号，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：本溪月日至日最低气温的平均数为，
辽阳月日至日最低气温的平均数为；
本溪月日至日最低气温的方差，
辽阳月日至日最低气温的方差，
，
本溪、辽阳波动一样．
故选：．
利用方差的定义列式计算，再比较大小，从而根据方差的意义得出答案．
本题主要考查折线统计图，方差和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，，，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，根据对顶角相等求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由图中的尺规作图得：是的平分线，
，
，，
，
，
点为的中点，
，
的周长，
故选：．
由题意得是的平分线，再由等腰三角形的性质得，，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
当点在上时，，
当点在线段上时，，
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：．
分别求出点在，上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
 

13.【答案】
 

【解析】解：有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，，，，
从中随机抽取一张，抽出卡片上写的数是的概率为．
故答案为：．
根据概率公式即可求解．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】
 

【解析】解：设种奖品的单价是元，则种奖品的单价是元，
依题意得：．
故答案为：．
设种奖品的单价是元，则种奖品的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买种奖品的数量与用元购买种奖品的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：为直径，
，
在中，，
，
．
故答案为．
先利用圆周角定理得到，，再利用正切的定义得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了锐角三角函数的定义．
 

17.【答案】
 

【解析】解：设半圆圆心为，连接，过作于，交于，如图：

，，
，，
，，，
为半圆的中点，
，
又，
，
中，，，
，，
，，
，
中，，，
，，
，，
，，
，
把代入得，
故答案为：．
设半圆圆心为，连接，过作于，交于，先求出，，，中，，，求出，，，中，，，可得，，即得，把代入得．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，涉及解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是适当构造辅助线，求出的坐标．
 

18.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
．
由折叠可知：，．
，
，
，
．
，
．
，
．
故正确；
过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，．
，
≌，
，
，
不正确；
由折叠可得：，
，
，
，
即平分．
正确；
连接，，，如图，

≌，≌，
，，
，
，
．
．
由折叠可得：，
．
．
由折叠可知：．
．
，，
，
，，，四点共圆，
．
在和中，
，
≌．
，
，
，
，
．
，
∽，
．
．
．
正确；
综上可得，正确的结论有：．
故答案为：．
利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
过点作于，通过证明≌，进而说明≌，可得，可得不正确；
由折叠可得：，由可得，结论成立；
连接，，，由≌，≌可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，，得到，所以，，，四点共圆，所以，通过≌，可得，这样，，因为，易证∽，则得，从而说明成立．
本题主要考查了正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】 

补全统计图如下：


根据题意列表如下：

由表格可以看出，所有可能出现的结果有种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是．
 

【解析】解：本次被调查的学生共有：名；

项目的人数有：人，
图中“项目”所对应的扇形圆心角的度数为：；
见答案
根据项目的人数和所占的百分比求出总人数；
用总人数减去其它项目的人数，求出项目的人数，再用乘以“项目”所占的百分比即可得出“项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；
根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元．
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，
依题意得：，
解得：．
答：最多能购买手绘纪念册本．
 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，根据“购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

22.【答案】解：由题意，，
在中，，
，
答：无人机的高度是米；

过点作于点，则四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
米，
答：隧道的长度约为米．
 

【解析】利用正切函数即可求出的长；
过点作于点，则四边形是矩形，得到，，在中利用正切函数即可求得，进而即可求得米．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
 

23.【答案】解：由题意，得：；
由题意可得：，
解得：或，
答：当销售价为元或元时，每星期的销售利润恰为元；
设该网店每星期的销售利润为元，由题意可得
，
，
当时，有最大值，最大值为元，
答：每件定价为元时利润最大，最大利润为元．
 

【解析】依据每个星期的销售利润每件的利润销售的件数列方程求解即可；
根据销售利润为元列出关于的一元二次方程，从而可求得售价；
利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出与的函数关系式是解题的关键．
 

24.【答案】证明连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

解：连接，
，，
，
，
，
是的直径，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，，
，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】连接，求出推出，根据切线的判定推出即可；
连接，根据已知条件求出的直径，在中，求出，，在中，求出，根据，求出，进而得到，根据相似三角形的判定证得∽，根据相似三角形的性质即可求出．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题．
 

25.【答案】解：如图，延长交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，即，
，
，
，
四边形和四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
≌，
；
，
理由：如图，连接，
在▱中，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，
；
由知，，
，，
，
设，则，，
当点在上时，如图，过点作于点，作于点，
过点作于点，过点作的延长线于点，
当时，，
平分，，，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
，
，
．
如图，当点在延长线上时，
由同理可得：，
，
，
综上所述，与面积的比值为或．
 

【解析】如图，延长交于点，连接，根据平行四边形性质可证得四边形是菱形，进而得出是等边三角形，再证明≌，即可得出答案；
如图，连接，证明≌，进而得出，利用三角函数可得，再运用勾股定理即可；
设，则，，分两种情况：当点在上时，如图，过点作于点，作于点，过点作于点，过点作的延长线于点，利用角平分线性质得出，，即可得出答案；
如图，当点在延长线上时，同理可得出，，即可求出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形判定和性质，角平分线性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
 

26.【答案】解：由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为；
对于，令，解得或，
故点的坐标为，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点的坐标为，则点，
则矩形的面积，
解得或，
故点的坐标为或；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，故点的坐标为，
当为直角时，如图，

设交轴于点，
由直线的表达式知，，则，
故设直线的表达式为，
该直线过点，故，
则直线的表达式为，
当时，，
即；
当为直角时，
过点作直线轴交轴于点，交过点与轴的平行线于点，

，，
，
，
即，则，
解得；
当为直角时，
同理可得，；
综上，以点、、为顶点的三角形是锐角三角形，则不为直角三角形，
故点纵坐标的取值范围为或．
 

【解析】用待定系数法即可求解；
由矩形的面积，即可求解；
当为直角时，求出直线的表达式为，得到；当为直角时，利用解直角三角形的方法求出；当为直角时，同理可得，，进而求解．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．