云南省昆明一中、宁夏银川一中2022届高三下学期联合一模考试数学（理）试题PDF版含解析

昆明一中、银川一中高三联合考试一模

参考答案（理科数学）

一、选择题 

1. 解析：，，共6个，选D．
2.   解析：因为，所以，选A．
3. 解析：该同学通过测试的概率，选B．
4. 解析：样本数据对应的点在一条直线上，所以，选B.
5.       解析：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，

设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，

由勾股定理可得，解得，所以，

因此，，选A.

6. 解析：由已知得点的坐标为或，所以△为等腰直角三角形，所以，

即，所以，解得，选C.

7. 解析：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，求解（舍去负根）可得，

令，则两边平方得，得，即，

解得，选C.

8. 解析：因为，而函数为奇函数，

由于奇函数的图像关于原点对称，所以，

从而，选D．

9. 解析：据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，所以（是的周期，），即，即（），所以；又由得，即，所以，所以；由得的单调减区间为，所以在上的单调减区间是，选C．
10. 解析：在正方体中，三棱锥是正三棱锥，则平面、平面、平面与平面所成的二面角的平面角相等；过顶点作平面与平面平行，则平面、平面、平面与平面所成的二面角的平面角相等；同理，过顶点作平面与平面、平面平行，过顶点作平面与平面重合，则正方形、正方形、正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，所以这样的平面可以作4个，选D．
11. 解析：因为，所以圆的半径，

，由抛物线定义，点到准线的距离，

所以，所以，选A .

12. 解析：由，则，①时，在上递减，在上递增，时，，时，，所以，要使函数有个零点，则，所以有，②时，在上只有个零点，不符合题意，③时，在上递增，在上递减，在上递增，因为，所以在上不可能有个零点，不符合题意，④时，在上递增，不可能有个零点，不符合题意，⑤时，在上递增，在上递减，在上递增，因为，所以在不可能有个零点，综上，时，方程有两个零点，选B．

二、填空题

13. 解析：因为，

所以．

14. 如图，由得，当即时，过点时最大，的最大值为，不符合题意；当即时，过点时最大，由解得，符合题意；当即时，

过点时最大，由解得，不符合，综上.

15. 解析：由题意可知，两两垂直，所以球的直径，所以

所以球的表面积为.  

16. 解析： 的值转化为单位圆上的，两点到直线的距离之和，由已知得：，，两点到直线的距离之和为的中点到直线的距离的两倍。当直线与直线平行时，的值最大，此时，最大值为.

三、解答题

17. 解：（1）根据正弦定理，由得：，

由 得：，所以，由余弦定理得：；   

又因为，所以.                           ………6分

（2）解：由（1）可得，所以，因为为钝角，所以为锐角，

所以，于是，，

所以.    ………12分

18. 解：（1）抽中二级品的概率，没抽中二级品的概率，所以抽出的工艺产品中至多2件二级品的概率.                         ………5分

（2）的分布列为：

则，

的分布列为：

   则，              

所以，

当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺；

当时，，从长期来看，投资工艺和工艺的产品平均利润率相等，投资工艺或工艺均可；

当时，，从长期来看，投资工艺的产品平均利润率较大，最好投资工艺．                                                                  ………12分

19.解：（1）证明：连接，，由题意，，，，知△与△为全等三角形，所以，故．

不妨设，则，，，

在△中由余弦定理可得，故，

在△中，，故，

与相交于点，且与都包含于平面，

所以平面．          ………6分

（2）由（1）可知，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．

可得，，，，，

故，， ，

设为平面的一个法向量，则

，得，

同理可得平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

，

所以，二面角的正弦值为．                  ………12分

20.解：（1）由已知，直线的斜率存在，设直线的方程为.

由得， 设，则是上述方程的两个实根，

于是.又因为点，

所以，

所以，即：，所以为直径的圆经过点.    ………5分

（2）由已知，设的斜率为（），则的方程为，

由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为，

同理可得点的坐标为.

所以，

由得，

解得或，则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标,

于是，

因此，当，即：时取“=”，

所以， 所以的取值范围为．                ………12分

21.解：（1）因为，令，所以，

所以，当，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，所以当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.        ………4分

（2）（i）因为，要使在上有两个极值点，，

则在上有两个变号的零点，

①时， 则，由（1）知，，所以，所以在上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.

②当时，因为，，，

则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去.

③当时，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，解得，

所以实数a的取值范围为.                               ………7分

（ii）由（i）知，，，

即，所以，  所以，

令，

即，所以，

故在上单调递增，所以当时，，

即，所以，所以，

而，所以，因为在上单调递增，

因为，所以，所以，即： ，

因为，所以.                 ………12分

第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22. 解：（1）消去参数得的普通方程；

消去参数得的普通方程．

设，由题设得，消去得．

所以的普通方程为.        ………5分

（2）的极坐标方程为，

直线的极坐标方程为（），

联立得，由于原点也在曲线上，所以与的交点有两个点，

交点的极坐标为，．                             ………10分

23. 解: （1）由

结合图象得：函数的最小值为.           ………5分

（2）由（1）得，

所以，由柯西不等式可得

，当且仅当时取等号，

所以的最大值是.                                ………10分