河南省济源平顶山许昌2021-2022学年高三上学期第一次质量检测数学（理）含解析

济源平顶山许昌2021-2022学年高三第一次质量检测

理科数学

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由对数的性质求集合A，由指数的值域求集合B，再根据集合交运算求.

【详解】由，可得或，故或，又，

∴.

故选：C.

2. 若复数z满足，则z的共轭复数对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数模的公式和复数的四则运算得Z，再由共轭复数的概念及复数的几何意义可得.

【详解】因为

所以

所以

，对应的点在第一象限

故选：A.

3. 若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解一元二次不等式、分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.

【详解】由，可得：；

由，则，可得；

∵成立的一个充分不必要条件是，

∴，可得.

故选：D.

4. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先变形为，再分子分母同除以，化为关于的方程，求出，进而求出结果.

【详解】，则，分子分母同除以，得：，解得：，所以.

故选：A

5. 函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由解析式确定定义域，奇偶性定义判断奇偶性并结合，确定函数的大致图象即可.

【详解】由解析式知：定义域为，

，故为偶函数，排除D；

又，，排除A、C；

故选：B.

6. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3∶2.左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大､小五角星相似，其外接圆的直径之比为3∶1，相似图形和相似三角形性质相同.若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似比求出面积比，进而利用面积比求出几何概率.

【详解】因为大､小五角星相似，外接圆的直径之比为3∶1，则大､小五角星面积比为9:1，由几何概型公式可得：在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为.

故选：D

7. 正方形中，P，Q分别是边的中点，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得，用表示出然后可表示出，即可得出结果.

【详解】由题意，即，解得，

∴，又，

∴，则

故选：C．

【点睛】方法点睛：本题考查平面向量基本定理．解题时可选取不共线向量为基底，把其他向量都用基底表示，然后求解．这种方法目标明确，思路清晰，易于求解．

8. 中国古代的“礼､乐､射､御､书､数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”即数学某校国学社团利用周日开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，上午三节，下午三节.一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在上午，“射”和“御”两门课程排在下午且相邻，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（    ）

A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 144种

【答案】B

【解析】

【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，由此计算出正确答案.

【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下门课程，

所以不同的排课顺序有种.

故选：B

9. 已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题设可得，根据对数的性质判断A；应用基本不等式判断B；根据指数函数、幂函数的单调性判断C；由基本不等式“1”的代换判断D.

【详解】由题设，，即，则，A错误；

由，又，可得，B错误；

由知：，C错误；

，又，

∴，D正确.

故选：D.

10. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由偶函数将转化到上，由指对数的性质判断自变量的大小关系，再由单调性判断函数值的大小关系.

【详解】∵是定义在R上的偶函数，

∴且，，且，

∵在上单调递减，

∴在上单调递增，则.

故选：C

11. 已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】应用辅助角公式化简，再由图像平移写出的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定的最小值.

【详解】由题设，，故，

要使且，则或，

∴的最小值为1个周期长度，则.

故选：B.

12. 抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A，B，已知x轴上存在一点N（不同于点M），且满足，则点N的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设该直线方程为，当时，联立消去，得，设则由化简计算可得，即可求得时，可验证依然成立.

【详解】直线过且斜率不为0，

设该直线方程为，当时，联立消去，得，

恒成立，设则

，

即

即，则，

即则，

即

所以，

即当时，两点关于轴对称，显然恒成立.

综上所述，.

故选：A.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.

【答案】3

【解析】

【分析】令，应用向量线性关系的坐标表示可得，即可求离心率.

【详解】令，又，，，则，

∴，故，

∴.

故答案为：3.

14. 在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为___________.

【答案】2或##或2

【解析】

【分析】由余弦定理求得，结合勾股定理、平行四边形性质有△、△为等腰直角三角形，根据题设翻折后作，，且、交于，则有或，进而求长.

【详解】由题设，，即，

∴由平行四边形的性质及勾股定理易知：△、△为等腰直角三角形，

将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为，

如上图示，作，，且、交于，显然为正方形，

∴或，又，则，或，

因为，所以，

结合，所以平面，

在△中，当时，；

当时，

故答案为：2或.

15. 如图，△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，则___________.若线段的垂直平分线交于点D，交AB于点E，且.则△的面积为___________.

【答案】    ①. ##60°    ②.

【解析】

【分析】由余弦定理求角B，设，应用正弦定理可得，根据已知条件有，即可求的大小，进而求△的面积.

【详解】由余弦定理知：，而，

∴，又，则，

在△中，设，则，可得，

又的垂直平分线交于点D，交AB于点E，则，

∴，可得，而，故.

∴，故△的面积为.

故答案为：，.

16. 若函数的最小值为，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数易得时最小值为，再讨论参数a求时的最小值，结合已知最小值求参数的范围.

【详解】当时，，易知：上，上，

∴在上递减，在上递增，最小值为.

当时，若，则在上递减，则最小值为，

此时，，解得，故，符合题设；

若，则在上递减，最小值为，

此时，，符合题设；

若，则在上递减，上递增，最小值为，

此时，或，无解.

综上，.

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知数列的前n项和是，且，数列的通项为.

（1）求通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用的关系求的通项公式；

（2）由（1）得，应用错位相减法可直接求解.

【小问1详解】

当时，；

当时，，显然满足上式，

∴；

【小问2详解】

由（1）知：，

所以①，

②，

①-②得：，

∴.

18. 如图，正三棱柱的底面边长为2，.

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）为中点，连接交于，连接，易证，由中垂直的性质可得，结合直三棱柱的性质计算的长；

（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.

【小问1详解】

若为中点，连接交于，连接，如下图示，

∴为的中点，则，又，

∴，又，故，

由为正三棱柱，即底面为等边三角形且边长2，

∴，，则在直角△中，.

【小问2详解】

构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，

∴，，，

若为面的一个法向量，则，令，则 ，

若为面的一个法向量，则，令，则 ，

∴，则如图锐二面角的正弦值为.

19. 一个不透明袋子里装有红色小球x个，绿色小球y个，蓝色小球z个，小球除颜色外其他都相同.从中任取一个小球，规定取出的小球是蓝色的积3分，绿色的积2分，红色的积1分.

（1）若，从该袋子中随机有放回的抽取2个小球，记X为取出小球的积分之和，求X的分布列；

（2）从该袋子中随机取一个小球，记Y为此小球的对应积分，若，求.

【答案】（1）分布列见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题设确定随机有放回的抽取2个小球的所有可能事件，进而确定X可能值，进而求各对应值的概率.

（2）根据期望公式、方差与期望的关系，结合已知列关于x、y、z的方程，即可求比例.

【小问1详解】

由题意，抽取2个小球可能为{红，红}，{绿，绿}，{蓝，蓝}，{红，绿}，{红，蓝}，{绿，蓝}，则X可能为2、3、4、5、6，

又每次抽到红、绿、蓝球的概率分别、、，

∴，，，，，

∴X的分布列如下：

【小问2详解】由题设，当时，，

当时，，

当时，，

∴，

，

，

∴，则，，，

∴.

20. 如图，、B分别是椭圆的左顶点和上顶点.圆O经过点B，P为椭圆C上一点，过A且与垂直的直线交圆O于两点C，D.若点在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求面积最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将M点坐标带入方程，结合椭圆的几何性质及可解；

（2）根据弦长公式用斜率表示出CD、AP，从而得到面积与斜率的函数关系然后可解.

【小问1详解】

由题可得：

解得：b=c=1

所以椭圆的标准方程为：.

【小问2详解】

由（1）知圆O的方程为

易知直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的斜率为，

则直线AP的方程为

带入椭圆方程整理得：

所以

所以

直线AC的斜率为，方程为

则圆心到直线AC的距离

的面积

整理可得：

令

则

又直线AC与圆相交，即，且

当，即时，的面积最大

最大值为.

21. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）已知，且，若，求证：.

【答案】（1）在单调递减，在单调递增   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对求导，注意到，研究的分子，最终求出的单调性；

（2）先对同除以，变形为，再构造差函数解决极值点偏移问题

小问1详解】

，令，则，

∴在单调递增，

注意到

∴当时，，此时，单调递减，当时，，此时，单调递增

∴在单调递减，在单调递增

【小问2详解】

等价于，等式两边同除以得：

，即

由（1）知：在单调递减，在单调递增

∴，一正一负，不妨设

构造新函数，则

∴

令，则

当时，显然恒成立，所以

又对恒成立，

所以在时，，即单调递减

∵

∴，即

∵

∴

其中，，且在单调递减

∴，即

【点睛】方法点睛：构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

22. 以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线.

（1）求的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求△面积的最大值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设出的坐标，由题意得，即，将代入即可得的直角坐标方程；

（2）利用（1）及圆极坐标方程，设出B的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得△面积的最大值为.

【小问1详解】

令，则，即，

∴，

由M为曲线上的动点，且的直角坐标方程为，

∴，则，故.

∴的直角坐标方程：.

【小问2详解】

设B的极坐标为 （）.由题设知：|OA|=2，，

∴△OAB面积，

当时， S取得最大值.

∴△OAB面积的最大值为.

23. 已知函数，若实数a，b满足.

（1）求不等式的解集；

（2）证明：对于任意，都有.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）分类讨论求绝对值不等式的解集即可.

（2）令，只需证，结合分段函数的最值、基本不等式证明结论.

【小问1详解】

由题设，，

当时，，可得；

当时，，可得；

当时，，可得；

综上，解集为.

【小问2详解】

由（1）知：，

∴，

又，则，可得，当且仅当时等号成立.

∴，则对于任意，都有.