山西省晋中市2022届高三下学期3月一模试题数学（文）含解析

这是一份山西省晋中市2022届高三下学期3月一模试题数学（文）含解析，共18页。试卷主要包含了设，，，则，2022年北京冬奥会成功举办等内容，欢迎下载使用。

数学试题（文科）
（时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则复数z的共轭复数等于
A．B．C．D．
2．已知集合，，则等于
A．B．C．D．
3．命题“，”的否定为
A．，B．，
C．，D．，
4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2022年“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，则xy的值为
A．36B．12C．10D．24
5．设，，，则
A．B．C．D．
6．已知等比数列的各项均为正数，且，，则等于
A．11000B．5050C．5000D．10000
7．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数l的值为
A．9B．12C．14D．16
8．2022年北京冬奥会成功举办．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长．下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是
A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降
B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%
9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定，则等于
A．1B．2C．3D．4
10．如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD，母线，若点E是母线BC的中点，F是的中点，则下列说法正确的是
A．B．点F到平面ABCD的距离为2
C．BF⊥ACD．BF与平面ABCD所成的角的大小为
11．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的值可能为
A．B．C．D．
12．已知函数，若恒成立，则a的取值范围为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，满足，，且，则与的夹角等于．
14．若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为．
15．已知圆E的圆心为，直线：，：与圆E分别交于点A，B与C，D，若四边形ABCD是正方形，则圆E的标准方程为．
16．已知数列满足，，数列的通项公式为，记数列的前n项和为，若存在正数k，使对一切恒成立，则k的取值范围为．
三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题是必考题，每个考生都必须作答．第22、23题是选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
2022年2月4日，冬奥会在北京与张家口开幕，如图，四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状，区域四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，，，．
（1）求氢能源环保电动步道AC的长；
（2）若，求花卉种植区域总面积．
18．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点．
（1）证明：AC⊥平面BEF；
（2）求三棱锥F-BGE的体积．
19．（本小题满分12分）
某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”，种植的都是黄桃，黄桃根据品相和质量大小分为优级果、一级果、残次果三个等级．农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克，得到如下数据“生态农场”优级果和一级果共95千克，两个农场的残次果一共20千克，优级果数目如下：“生态农场”20千克，“亲子农场”25千克．
（1）根据所提供的数据，判断是否有95%的把握认为残次果率与农场有关？
（2）种植黄桃的成本为5元/千克，且黄桃价格如下表：
①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润；
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策．（假设两个农场的产量相同）
参考公式：，其中．
附表：
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．
（1）求圆的方程与椭圆的方程；
（2）经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（1）求的解集；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
试卷类型：A
晋中市2022年3月普通高等学校招生模拟考试
数学答案（文科）
1．A
[因为，所以，故选A．]
2．C
[由题意可知，，，则，故选C．]
3．B
[因为命题“，”是特称命题，所以其否定是全称命题，即为“，”，故选B．]
4．D
[因为甲班学生成绩的中位数是84，
所以根据茎叶图可得为中位数，
即，
解得．
又因为乙班学生成绩的平均数是86，
即，
解得，故，故选D．]
5．D
[因为，
即，，
即，，
即，所以，故选D．]
6．B
[设等比数列的公比为q，
因为等比数列的各项均为正数，
所以，
因为，
所以，
即，
解得或（舍去），
因为，
即，
解得，
所以通项公式为，
所以，
所以．故选B．]
7．A
[第一次循环，，不成立；第二次循环，，不成立；第三次循环，．不成立；第四次循环，，，成立，所以，输入的最小整数t的值为9．]
8．B
[对于A，2016年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；对于B，由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；对于C，由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；对于D，由统计图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为，故D错误．]
9．A
[令，
即，
即，解得，
故，故选A．]
10．B
[如图所示，设O是AB的中点，连接OE，OF，在正方形ABCD中，，可得，在△ABC中，可得，则EF与AC不平行，选项A错误；因为F是的中点，所以OF⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离为2，选项B正确；∠ABF是BF与平面ABCD所成的角，其大小为，选项D错误；BF与AB不垂直，也得不出BF⊥AC，选项C错误．]
11．A
[由题意可知，
，
将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，然后再向左平移个单位长度，可得的图象，因为所得的图象关于y轴对称，可得，则，取，得．故选A．]
12．D
[因为恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
设，
则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
则．故选D．]
13．
解析
由条件，
可得，
即，
得到，
所以，
所以．
14．
解析
圆锥的轴截面如图所示，
则圆锥的高，设内切球的半径为r，
根据面积相等，可得圆锥轴截面的面积为，
得到，
所以内切球的表面积为．
15．
解析
设半径为r，这时圆E的标准方程为．
由题意知，圆心E在直线上，
所以．
又，两直线间的距离，
且四边形ABCD是正方形，
所以，
解得，
所以圆E的标准方程为．
16．
解析
因为，
即，
所以数列为公比为人的等比数列，
又因为，
所以，
所以，，
所以，①
，②
②－①得，
，
所以．
因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立，
只需满足，
因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
所以，
故k的取值范围是．
17．解
（1）因为，，
所以，
在△ADC中，由余弦定理可知，
所以．
（2）因为，在△ABC中，由余弦定理可得，
即，
得，
解得或（舍去），
即．
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以
，
所以花卉种植区域总面积为．
18．（1）证明
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
所以点E为线段AD的中点，
所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以，
又，EF，平面BEF，
所以平面BEF．
（2）解
由（1）可知且，
又因为平面ABCD，
所以平面ABCD，
，
所以．
19．解
（1）作出2×2列联表如下：
因为，
所以有95%的把握认为黄桃的残次果率与农场有关．
（2）①对于“生态农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.2，盈利为3元的频率为0.75，盈利为－5.5元的频率为0.05，所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）；
对于“亲子农场”，抽到的产品中盈利为5元的频率为0.25，盈利为3元的频率为0.60，盈利为－5.5元的频率为0.15，所以该农场每千克黄桃的平均利润为（元）．
②由于两个农场的产量相同，所以“生态农场”的盈利能力更大，应该售卖“亲子农场”．
20．解
（1）的定义域为，
因为，
所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令，，
解得，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
证明如下：当时，有，
所以，
即，
所以．
21．解
（1）由题可知，圆：的圆心为，因为直线与圆：相切，
所以，
所以圆的方程为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
即，
因为，
所以，
又因为，
所以，
解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设点，，．
当直线PA的斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA的方程为．
由，消去y，得．
．
令，整理得．
则，
所以直线PA的方程为．
化简可得，
即．
经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为或，也满足．
同理，可得直线PB的方程为．
因为在直线PA，PB上，所以，．
所以直线AB的方程为．
由，
消去y，得．
所以，．
所以
．
又点O到直线AB的距离．
所以．
令，，
则．
又，
所以△OAB的面积的取值范围为．
22．解
（1）由（t为参数），消去参数得直线l的普通方程为，
由曲线C的极坐标方程为
及，
得曲线C的直角坐标方程为．
（2）把（t为参数）代入得到，
设A，B对应的参数分别为，，
则，，
所以，异号，
故，
所以的值为．
23．解
（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故的解集为．
（2）由于，
所以，
即，
因为，
故，即．
故a的取值范围为．
等级
优级果
一级果
残次果
价格（元/千克）
0
8
－0.5（无害化处理费用）
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
农场
非残次果
残次果
总计
生态农场
95
5
100
亲子农场
85
15
100
总计
180
20
200