专题12 一次函数【思维导图+知识点清单+热考题型】-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型（全国通用）

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专题12 一次函数（55题）


考查题型一 自变量与函数值
【解题思路】考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
1．（2021·四川阿坝·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3．故选：C．
2．（2021·四川泸州·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【答案】B
【提示】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解:由题意得，x-1≥0且x-1≠0，解得x＞1．故选：B．
3．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
【答案】C
【提示】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，故选C.
4．（2020·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【提示】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x＋1≥0且x≠0，解得：x≥−1且x≠0．故选：B．
考查题型二 从函数图象中获取信息
【解题思路】理解函数图象所对应的实际意义是解题关键．
5．（2021·重庆·中考真题）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（ ）

A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快
【答案】D
【提示】根据题意，首先提示出函数图象中每一部分所对应的实际意义，然后逐项提示即可．
【详解】根据题意可知，函数图象中，0-1h对应的实际意义是小明从家到图书馆的过程，走过的路程为3km，故A正确；1-3h对应的实际意义是小明在图书馆阅读，即阅读时间为3-1=2h，故B正确；3h后直到纵坐标为0，对应的实际意义为小明从图书馆回到家中，显然，这段时间不足1h，从而小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，故C正确；显然，从图中可知小明去图书馆的速度为，回来时，路程同样是3km，但用时不足1h，则回来时的速度大于，即大于去时的速度，故D错误；
故选：D．
【名师点拨】本题考查函数图象与实际行程问题，理解函数图象所对应的实际意义是解题关键．
6．（2021·广西来宾·中考真题）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（ ）

A．这一天最低温度是-4℃ B．这一天12时温度最高
C．最高温比最低温高8℃ D．0时至8时气温呈下降趋势
【答案】A
【提示】根据气温变化图逐项进行判断即可求解．
【详解】解：A. 这一天最低温度是，原选项判断正确，符合题意；B. 这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；C. 这一天最高气温8℃，最低气温-4℃，最高温比最低温高，原选项判断错误，不合题意；D. 时至时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意．故选：A
【名师点拨】本题考查了根据函数图象读取信息，理解气温随时间变化而变化并从中读取信息是解题关键．
7．（2021·新疆·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【提示】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可
【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4；当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7；点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11，故选D．
【名师点拨】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键．
8．（2021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）

A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
【答案】C
【提示】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．
【详解】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，...，∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时mg，故选C．
【名师点拨】本题考查了函数图象，规律型问题，利用函数图象的意义是解题关键．
考查题型三 正比例函数的图象与性质
【解题思路】熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键．
9．（2021·湖南益阳·中考真题）正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点
【答案】B
【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】A、正比例函数，函数值随的增大而增大；反比例函数，在每一象限内，函数值随的增大而减小，则此项不符题意；B、正比例函数的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；C、正比例函数的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意；D、正比例函数，当时，，即其图象经过点，不经过点，则此项不符题意；故选：B．
【名师点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．
10．（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；观察图像②可得，所以，②不符合题意；观察图像③可得，所以，③不符合题意；观察图像④可得，所以，④符合题意；综上，其中符合的是①④，故答案为：B．
【名师点拨】本题考查的是正比例函数和反比例函数的图像，当k＞0时，正比例函数和反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，正比例函数和反比例函数经过二、四象限．
11．（2021·湖北恩施·中考真题）某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可．
【详解】解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得：
，解得：，∴该函数解析式为；故选C．
【名师点拨】本题主要考查正比例函数的实际应用，熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键．
12．（2021·广西来宾·中考真题）一次函数y=2x+1的图像不经过 (     )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【提示】根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2＞0，b=1＞0可知，一次函数y=2x+1的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.
【详解】∵k=2＞0，b=1＞0，∴根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.故选D.
【名师点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.
考查题型四 一次函数的图象
13．（2021·湖北襄阳·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知，∴二次函数开口向下，
对称轴，故选：D．
【名师点拨】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
14．（2021·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．-5 B．5 C．-6 D．6
【答案】A
【提示】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后
得到的解析式为：，化简得：，
∵平移后得到的是正比例函数的图像，∴，解得：，故选：A．
【名师点拨】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．
15．（2021·甘肃武威·中考真题）将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为故选:A
【名师点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
16．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【提示】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，∴m+1＜0，1﹣m＞0，所以一次函数的图象经过一，二，四象限，故选：D．
【名师点拨】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数中的对函数图像的影响是解题的关键 ．
17．（2020·湖南益阳·中考真题）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【提示】根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误，故选：B．
【名师点拨】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
考查题型五 一次函数的性质
18．（2021·辽宁营口·中考真题）已知一次函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【答案】C
【提示】将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：∵一次函数过点，∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误；
当时，，故C正确；该一次函数与x轴交于点，与y轴交于点，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，故D错误；故选：C．
【名师点拨】本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
19．（2021·广西柳州·中考真题）若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．y随x的增大而增大 D．时，
【答案】B
【提示】首先根据图像中过两点，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可．
【详解】首先将代入一次函数解析式，得 ，解得，
所以解析式为 ；A、,由求出的，可知此选项错误；
B、，由求出的，可知此选项正确；
C、因为k＜0，所以y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、将x=3代入， ，故此选项错误；故选：B．
【名师点拨】本题考查一次函数图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解析式中系数 的关系是解题关键．
20．（2021·四川凉山·中考真题）函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【提示】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．在方程中，△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：C．
【名师点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
21．（2021·江苏苏州·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【提示】根据一次函数的增减性加以判断即可．
【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．∵21．
故选：C．
【名师点拨】
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
40．（2021·陕西模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（ ）


A． B．1 C． D．2
【答案】A
【提示】
利用一次函数的性质得到A，B，C的坐标，即可求解．
【详解】
解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
∴,，
∵一次函数与正比例函数的图象交于点，
∴ 可得，
∴的面积为，的面积为，
∴与的面积比为，
故选：A．
【名师点拨】
本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
41．（2020·河北承德·二模）如图，点，，在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【提示】
由题意可以求得阴影部分的边长，再根据阴影部分的图形特征可以求得其面积．
【详解】
解：由题意可得A、C的坐标分别为（-1，b+2)、（2，b-4），
又阴影部分为三个有一直角边都是1，另一直角边的长度和为A点纵坐标与C点纵坐标之差的三角形，所以阴影部分的面积为：，
故选B．
【名师点拨】
本题考查三角形面积与一次函数的综合应用，利用一次函数的表达式求得阴影部分三角形的边长和是解题关键 ．
考查题型十 利用一次函数解决分配方案问题
42．（2021·贵州毕节·中考真题）某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游．甲､乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人1000元,经协商,甲旅行社的优惠条件是:老师､学生都按八折收费:乙旅行社的优惠条件是:两位老师全额收费,学生都按七五折收费,
（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有名,,（单位:元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用,求,关于的函数解析式；
（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少?
【答案】（1） , （2）当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等．
【提示】
（1）根据旅行社的收费=老师的费用+学生的费用,再由总价=单价×数量就可以得出 ､与x的函数关系式;
（2）根据（1）的解析式,若,,,分别求出相应x的取值范围,即可判断哪家旅行社支付的旅游费用较少．
【详解】
（1）由题意,得
,
,
答： ､ 与x的函数关系式分别是: ,
（2）当时,,解得 ,
当时,,解得,
当时,,解得,
答：当学生人数超过10人时,选择乙旅行社支付的旅游费最少；当学生人数少于10人时,选择甲旅行社支付的旅游费最少；学生人数等于10人时,选择甲、乙旅行社支付费用相等．
【名师点拨】
本题考查了单价×数量=总价的运用,一次函数的解析式的运用,列一元一次不等式组解实际问题的运用,解题的关键是根据题意求出一次函数的解析式,然后比较函数值的大小求出相应x的取值范围．
43．（2021·广西河池·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织九年级全体师生前往广西农民运动讲习所旧址列宁岩参加“学党史、感党恩、听党话、跟党走”的主题活动，需要租用甲、乙两种客车共6辆．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）；（2）乙种客车2辆时, 租车费用2400
【提示】
（1）根据题意列出函数表达式即可；
（2）根据一次函数的性质，求得最值．
【详解】
（1）设租用乙种客车x辆，租车费用为y元，
甲、乙两种客车共6辆，
租用甲种客车辆，
，，
，
，
；
（2） 租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，
即，
解得，
是正整数，
最大为，
，
，
随的增大而减小，当取最大值时候，取得最小值．
当时，租车费用最少为．
答：租用乙种客车2辆时，租车费用最少，费用为元．
【名师点拨】
本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
44．（2021·青海西宁·中考真题）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如下表：
型号
载客量（人/辆）
租金单价（元/辆）A
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【答案】（1）；（2）1辆；（3）租车方案有3种：方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【提示】
（1）根据租车总费用＝每辆A型号客车的租金单价×租车辆数＋每辆B型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
（2）由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
（3）由题意得出，求出x的取值范围，提示得出即可．
【详解】
解：（1），
∴；
（2）根据题意，得：，
解得，
∵x应为正整数，
∴
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得，
解得，
结合（2）的条件，，
∵x应为正整数，∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种：
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【名师点拨】
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
考查题型十一 利用一次函数解决最大利润问题
45．（2021·辽宁鞍山·中考真题）2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元
【提示】
（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质提示其最值．
【详解】
解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得：，
，
当时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【名师点拨】
此题考查二次函数的应用——销售问题，涉及运算能力及一次函数应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
46．（2021·湖北天门·中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【答案】（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【提示】
（1）利用待定系数法即可得；
（2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得；
（3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】
解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则与的函数关系式为；
（2）当时，，
，
则（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为万元，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，
答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【名师点拨】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
47．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）

（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元
【提示】
（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可；
（2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
【名师点拨】
本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键．
考查题型十二 利用一次函数解决行程问题
48．（2021·浙江丽水·中考真题）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．
【提示】
（1）根据图象直接得出结论即可；
（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为
（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．
【详解】
解：（1）由图象，得时，，
答：工厂离目的地的路程为880千米．
（2）设，将和分别代入表达式，
得，解得，
∴s关于t的函数表达式为．
（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），
，解得（小时）．
当油箱中剩余油量为0升时，（千米），
，解得（小时）．
随t的增大而减小，
的取值范围是．
【名师点拨】
本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．
49．（2021·陕西·中考真题）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离与时间之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______；
（2）求的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【答案】（1）1；（2）；（3）
【提示】
（1）根据图象得到“猫”追上“鼠”时的路程与它们的用时，再求平均速度差即可；
（2）找出A点和B点坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）令，求出的值，再减去1即可得解．
【详解】
解：（1）从图象可以看出“猫”追上“鼠”时，行驶距离为30米，“鼠”用时6min，“猫”用时（6-1）=5min，
所以，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
故答案为：1；
（2）由图象知，A（7，30），B（10，18）
设的表达式，
把点A、B代入解析式得，

解得，
∴．
（3）令，则．
∴．
14.5-1=13.5(min)
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为．
【名师点拨】
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及坐标与图形，解题的关键是：结合实际找出该线段的意义，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式．
50．（2021·江苏南京·中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；
（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．
【答案】（1）图像见解析；（2）12
【提示】
（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；
（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）作图如图所示：
；
（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，
∴，
解得：，
∴甲整个行程所用的时间为12．
【名师点拨】
本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等．
51．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为___________，小刚骑自行车的速度为________；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?
【答案】（1）3000，200；（2）；（3）
【提示】
（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可；
（2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；
（3）小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当时，函数值即可．
【详解】
解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，
∴小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m，
行驶的路程为5000-3000=2000m，
骑自行车的速度为2000÷10=200m/min，
故答案为：3000，200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间：．
总时间：．
设返回时与的函数表达式为，
把代入得：，
解得，，
．
（3）小刚出发35分钟，即当时，
，
答：此时他离家．
【名师点拨】
本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键．
考查题型十三 利用一次函数解决实际问题
52．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．

（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．
①当时，的面积是__________．
②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．
【提示】
（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；
（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；
（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．
【详解】
解：（1）直线经过点，
，
解得，
即直线的解析式为，
当时，，
，
（2）线段平行于轴，
点的纵坐标与点一样，
又点在直线上，
当时，，
即，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（3）①作于，

点在直线上，
设点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
即，
整理得或8（舍去），
，
，
当时，，
，
②，
当时，，
当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．
【名师点拨】
本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．
53．（2021·西藏·中考真题）已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S．

（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【答案】（1）6；（2）(3，2)；（3）S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），图见解析．
【提示】
（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【详解】
解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，
∴点P（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），
∴，
∴S△AOP＝×4×3＝6；
（2）当S＝4时，即×4×y＝4，
∴y＝2，
当y＝2时，即2＝﹣x＋5，
解得x＝3，
∴点P（3，2）；
（3）由题意得，
S＝OA•y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．

【名师点拨】
本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
54．（2020·甘肃金昌·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【提示】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：

设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【名师点拨】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
55．（2020·河北·中考真题）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．

－1
0

－2
1

（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【提示】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】
（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；

（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
【名师点拨】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．