高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教案

教学环节

教学活动

设计意图

一．温故知新

1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍

（1）当时，与同向

（2）当时，与反向

2、空间向量的数乘分配律和结合律

（1）分配律：

（2）结合律：

3、共线向量或平形向量

类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使

1、方向向量

如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向

以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。

二．新课讲授

量叫做直线的方向向量.

在上取，则上式可化为

证明：对于空间内任意一点O，三点共线

    由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。

回顾平面向量的基本定理：

共面向量定理  如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。

由此可以得到空间向量共面的证明方法

2、空间平面ABC的向量表示式

空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。

推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是

证明：

方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。

回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。

P与点A，B，C共面

本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。

三．典例讲练

例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，

求证：E，F，G，H四点共面

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面来证明。

证明：因为，所以

，，，，由于四边形ABCD是平行四边形，所以，因此，

由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面

进一步：请学生思考如何证明：面AC//面EG

四．练习巩固

1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。

（1）

（2）

（3）

2、课本P96练习2-3

3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH

巩固知识，注意向量运算律的使用. 3、略解：（1）

（2）得EF∥AC，AC平面EFGH，则AC∥平面EFGH

五．拓展与提高

1．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.

求证：MN//平面CDE

证明：=

    又与不共线

根据共面向量定理，可知共面。

由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE

注意用空间向量的思想去解决立体几何问题的转化方法.

六．小结

1．空间向量的数乘运算

2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

3．平面的向量表达式解决共面问题

归纳知识反思方法，特点。

七．作业

课本P106习题3.1，A组 第1题（3）、（4），第2题