2021学年1.2充分条件与必要条件教学设计

充分条件和必要条件

【教学目标】

1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

2. 会判断命题的充分条件、必要条件.
3. 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义.
4. 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.

【导入新课】

复习导入

1. 命题的概念、命题的组成；

2. 四种命题之间的关系；

3.判断下列命题是真命题还是假命题?

（1）若x>a2+b2,则x>2ab.

（2）若ab=0，则a=o.

（3）有两角相等的三角形是等腰三角形.

（4）若a2>b2，则a>b.

4 写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab；      （2）若ab＝0，则a＝0.

..

新授课阶段

问题3的答案： (1)、（3）为真命题；（2）、（4）为假命题.

对问题4的归纳：命题(1)为真命题，命题(２)为假命题.

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题.

1.充分条件和必要条件的定义

　　命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件.

　　一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq.

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p  q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件.

上面的命题(1)为真命题，即x＞a2+b2　x＞2ab，所以“x＞a2+ b2　”是“x＞2ab”的充分条件，“x＞2ab”是“x＞a2+ b2”的必要条件.

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

解析： 根据命题的组成特征得到：只有第四个命题不符合条件.

例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若a=0，则ab=0 ；

（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；

（3）若a>b，则ac>bc ；

（4）若x=y，则x2=y2.

解析：根据必要条件的概念，得到只有第2个符合条件.

2. 充要条件的有关概念

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.

请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件.

类比归纳

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作p  q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件.

例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１）     p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２）     p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３）     p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４）     p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10；

（５）     p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2.

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p.

解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但q　　p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；

命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件.

归纳：一般地，

若pq ,但q　　p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q　　p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q　　p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

　　①若pq ,但q　　p，则p是q的充分但不必要条件；

　　②若qp，但p　　q，则p是q的必要但不充分条件；

　　③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p　　q，且q　　p，则p是q的既不充分也不必要条件.

课堂小结

1.总结如下：①若pq ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp， 则p是q的充要条件；

④若pq，且q  p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2.充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是.

作业

见同步练习部分

拓展提升

1.设，则是 的                       （  ）

A．充分但不必要条件                    B．必要但不充分条件

C．充要条件                          D．既不充分也不必要条件

2.设，则不等式与都成立的充要条件是（   ）                        

  A.        B.         C.             D.

3.给出下列命题：①是的充要条件； ②是的充要条件；

③是的充要条件.则其中为真命题的有（  ）                                 

A．个    B．个            C．个        D．个

4.已知命题;命题函数的值恒为负.则命题是命题成立的（   ）                                                                                  

A．充分但不必要条件                    B．必要但不充分条件

C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

5.不等式成立的充要条件是                 .

6.命题；命题关于的方程有两个小于的正根，试分析是的什么条件.

参考答案

1. A【解析】，则，  ∴，条件充分，反之不真，如.

2.B【解析】，  ∵，  ∴.而，故得.

3.A【解析】①，反之不真；② ，反之不真；③，反之不真.

4.A【解析】；函数的值恒为负，不一定有，如时，函数的值恒为负.

5. 且【解析】时，,  ∴；时， 此式当时恒成立.

6.解：设关于的方程有两个小于的正根，则，，∵，  ∴，  ∴，这说明是的必要条件.设，关于的方程不一定有两个小于的正根，如时，方程没有实数根，这说明不是的充分条件.综上，是的必要不充分条件.