人教版新课标A选修2-12.4抛物线教案

抛物线及其标准方程

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．

(二)能力训练点

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)

2．难点：抛物线的几何性质的应用．

(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)

3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．

 (解决办法：引导学生证明并加以记忆．)

三、活动设计

提问、填表、讲解、演板、口答．

　　教学过程

　　【情境设置】

　　由一名学生回答，教师板书．

　　问题 抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是 ．

　　1．抛物线的几何性质

　　（1）范围

　　因为 ，由方程可知 ，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

　　（2）对称性

　　以 代 ，方程不变，所以抛物线关于 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

　　（3）顶点

　　抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．

　　（4）离心率

　　抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知

　　其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．

　　再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？

　　学生和教师共同小结：

　　（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

　　（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；

　　（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；

　　（4）抛物线的离心率是确定的，为1．

　　【例题分析】

　　例1已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

　　求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：

　　描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图 ）．

　　然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．

　　例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为 ，灯深 ，求抛物线的标准方程和焦点位置．

　　解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径．

　　抛物线的标准方程为 ，由已知条件可得点 的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得： ，

　　所以所求抛物线的标准方程为 ，焦点坐标是 .

　　（三）随堂练习

　　1．求适合下列条件的抛物线方程

　　①顶点在原点，关于 轴对称，并且经过点

　　②顶点在原点，焦点是

　　③顶点在原点，准线是

④焦点是 ，准线是

　　2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是 m，跨度是 m，求拱形的抛物线方程

　　答案：1．① ② ③ ④

　　　　　2． (要选建立坐标系)

　　（四）总结提炼

　　抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．

　　（五）布置作业

　　1．顶点在原点、焦点在 轴上，且过点 的抛物线方程是（ ）

　　A． B． C． D．

　　2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（ ）

　　A．1　　B．2　　C．4　　D．6

　　3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ，则直线 的方程为__________.

　　4．抛物线形拱桥，当水面宽 时，水面离拱顶为 ，若水下降 ，则此时水面宽为___________.

　　5．抛物线的顶点是双曲线 的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．

　　6．若抛物线 上一点 到准线及对称轴的距离分别是10和6，求 的横坐标及抛物线方程．

　　答案：1．B 2．C 3． 4． 5． 6．9，

教案点评：

　　本节课首先设置情境，让学生利用类比的思想，探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类似的性质，并与椭圆、双曲线的性质比较，便于学生掌握这三种曲线的性质。通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用。