高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教学设计及反思

空间向量及其加减运算

●三维目标

 1.知识与技能

理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．

2．过程与方法

学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．

3．情感、态度与价值观

培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．

●重点难点

重点：空间向量的概念及线性运算．

难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．

●教学建议

由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕空间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，多举实例，努力突破教学难点．

●教学流程

创设问题情境：观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么不同.⇒⇒⇒⇒⇒ 巩固向量共线、共面的条件，完成例3、例4及其变式训练，从而解决向量的共线、共面判断方法.⇒⇒

【问题导思】　

　观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量，，，它们和以前所学的向量有何不同？

【提示】　，，是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.

【问题导思】　

1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？

【提示】　平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则．

2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？

【提示】　平面中，实数λ与向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时， λa与a方向相同，当λ＜0时，λa与a方向相反，λa的长度是a的长度的|λ|倍．

1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)

图3－1－1

＝＋＝a＋b；＝－＝a－b.

(2)运算律：①a＋b＝b＋a；

②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

2．空间向量的数乘运算

(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a.

1.共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

2．共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.

推论　空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y；或对空间任一定点O，有＝＋x＋y.

　给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABCD—A1B1C1D1中，＝；

③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

④在四边形ABCD中，必有＋＝.

其中正确命题的序号是________．

【思路探究】　(1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD满足什么条件时，才有＋＝？

【自主解答】　①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.

综上可知，正确命题为①②.

【答案】　①②

1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．

2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．

3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．

　下列命题是假命题的为________．

(1)空间向量中的两个单位向量必相等；

(2)若空间向量满足a∥b，b∥c，则a∥c；

(3)空间向量a、b满足a＝b，则|a|＝|b|；

(4)若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c.

【解析】　(1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)若b＝0，则结论不成立；(3)正确；(4)正确，相等向量满足传递性．

【答案】　(1)(2)

　如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC的三等分点(靠近A点)，N是A1D的三等分点(靠近D点)．设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.

图3－1－2

【思路探究】　→→

【自主解答】　＝＋＋

＝－＋＋

＝－(＋)＋＋(－)

＝－(a＋b)＋c＋(b－c)

＝－a＋b＋c.

用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：

(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律．

(2)要注意数形结合思想的运用．

图3－1－3

　如图3－1－3所示，已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.

【解】　＝＋＝＋

＝＋(＋＋)＝＋(＋－＋)

＝＋[－＋(－)]

＝＋＋＝a＋b＋c.

图3－1－4

　如图3－1－4所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．

【思路探究】　(1)与共线吗？怎样证明？

(2)||与||相等吗？

【自主解答】　∵E，H分别是AB、AD的中点，

∴＝，＝，

则＝－

＝－＝

＝(－)＝(－)

＝(－)＝，

∴∥且||＝||≠||.

又F不在直线EH上，

∴四边形EFGH是梯形．

1．本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．

2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．

图3－1－5

　如图3－1－5，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1、AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线？

【解】　由题意：＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－，即＝－，∴与共线.

　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．

【思路探究】　(1)是否存在实数x、y，使＝x＋y？

(2)如何证明四点共面？

【自主解答】　如图：

(1)由已知，得＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)．

∴＝＋＝－－.

∴向量，，共面．

(2)由(1)知，向量，，共面，表面三个向量的有向线段又过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面．∴点M在平面ABC内．

1．证明空间三个向量共面，常用如下方法：

①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a、b、c共面；

②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．

2．对空间四点P、M、A、B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

④∥(或∥，或∥)．

　如图3－1－6，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分

图3－1－6

别为BB1和A1D1的中点，证明：向量、、共面．

【证明】　＝＋＋＝－＋

＝(＋)－

＝－，

由向量共面的充要条件知，、、是共面向量.

混淆向量共线与直线平行致误

图3－1－7

　如图3－1－7所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M、N分别是AC、BF的中点，求证CE∥MN.

【错解】　∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋，

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－，

∴＝＋2＋＝2(＋＋)，

∴＝2，∴∥，即CE∥MN.

【错因分析】　证明空间图形中两直线平行，可以先用向量法证明两直线的方向向量平行，然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上，推得直线平行；不能由向量平行直接得出直线平行．

【防范措施】　若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行，也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的，这些概念，一定要准确理解，以免出错．

【正解】　证明∥的方法同上．

∵C不在MN上，∴CE∥MN.

1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：

(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.

2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.

1．下列说法正确的是(　　)

A．若|a|＜|b|，则a＜b

B．若a、b为相反向量，则a＋b＝0

C．空间内两平行向量相等

D．四边形ABCD中，－＝

【解析】　向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确．

【答案】　D

2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面向量

【解析】　由共面向量定理易得答案A.

【答案】　A

3．(a＋2b)－3(a－b)＝________.

【解析】　原式＝a＋2b－3a＋3b＝－2a＋5b.

【答案】　－2a＋5b

4．如图3－1－8，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，M为AC′的中点．化简下列各式．

图3－1－8

(1)－；

(2)＋＋；

(3)＋－.

【解】　(1)－＝＋＝＋＝；

(2)＋＋＝；

(3)＋－＝＋＋＝(＋＋)＝＝.

一、选择题

1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

图3－1－9

A．a＋b－c　　　　 B．a－b＋c

C．－a＋b＋c   D．－a＋b－c

【解析】　如题图＝－＝－(＋)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.

【答案】　D

2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A、B、D   B．A、B、C

C．B、C、D   D．A、C、D

【解析】　＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，

∴＝－2，

∴与共线，又它们经过同一点B，

∴A、B、D三点共线．

【答案】　A

3．(2013·厦门高二检测)A、B、C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点(　　)

A．不共面   B．共面

C．不一定共面   D．无法判断

【解析】　∵＋＋＝1，

∴点P、A、B、C四点共面．

【答案】　B

4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是(　　)

①(－)－；②(＋)－；

③(－)－2；④(－)＋.

A．①②   B．②③

C．③④   D．①④

【解析】　对于①(－)－＝－＝；

对于②(＋)－＝－＝＋＝；

③④化简结果不为.

【答案】　A

5．(2013·佛山高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　)

图3－1－10

A.＋＋＝0

B.－－＝0

C.＋－＝0

D.－＋＝0

【解析】　由图观察，、、平移后可以首尾相接，故有：＋＋＝0.

【答案】　A

二、填空题

6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，用、、表示＝________.

【解析】　＝－＝－(＋＋)＝－－＝－－.

【答案】　－－

7．(2013·临沂高二期末)设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A、B、D三点共线，则k＝________.

【解析】　∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2

又∵A、B、D三点共线，∴＝λ，

即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)

∴∴k＝－8.

【答案】　－8

8．已知两非零向量e1、e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．

【解析】　当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1、e2共面．

【答案】　①②③

三、解答题

9．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x、y的值．

(1)＝＋x＋y；

(2)＝x＋y＋.

【解】　

如图所示，

(1)∵＝－

＝－(＋)

＝－－，

∴x＝y＝－.

(2)∵＋＝2，∴＝2－.

又∵＋＝2，∴＝2－.

从而有＝2－(2－)＝2－2＋.

∴x＝2，y＝－2.

10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，请判断与＋是否共线？

图3－1－11

【解】　与＋共线，连结AC，取AC中点G，连结EG、FG，∴＝，＝.

又∵、、共面，

∴＝＋＝＋＝(＋)．

即与＋共线．

11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知BE＝BB1，DF＝DD1，CG＝CC1，那么A，E，G，F四点是否共面？

【解】　由题意知＝＋，

＝＝＋＝＋.

∴＝＋＝＋＋＋＝＋.

又，不共线，

∴A，E，G，F四点共面．

求证：平行六面体的对角线相交于一点，并且在交点处互相平分．

已知：六面体ABCD—A′B′C′D′为平行六面体．

求证：对角线A′C，D′B，B′D和AC′相交于一点O，且点O为A′C，D′B，B′D和AC′的中点．

【自主解答】　如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，

设点O是AC′的中点，

则＝＝(＋＋)，

设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点，

则＝＋＝＋

＝＋(＋＋)

＝＋(－＋＋)

＝(＋＋)．

同理可证＝(＋＋)，

＝(＋＋)．

由此可知O，P，M，N四点重合．

故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．

求证：四面体中连结对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．

已知：如图所示，在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点．求证：EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．

【证明】　∵E、G分别为AB、AC的中点，∴EG綊BC.

同理，HF綊BC，∴EG綊HF.

从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连结OP、OQ，只要能证明向量＝－，就可以说明P、O、Q三点共线且O为PQ的中点．

事实上，＝＋，＝＋.

∵O为GH的中点，∴＋＝0.

又∵GP綊CD，QH綊CD，

∴＝，＝.

∴＋＝＋＋＋＝0.

∴＝－.

故PQ经过O点，且O为PQ的中点．

∴EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．