专题02 动点引起的二次函数中的面积问题-2022年中考数学动点问题中的一题多解

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专题02 动点引起的二次函数中的面积问题【三角形面积求法】（1）公式法：底×高÷2S△ABC=（2）割补法，“铅垂高、水平宽”                           S△ABC=S△ACD+S△BCD                                              S△ABC=S△ACD－S△BCD=CD·AE+CD·BF                                =CD·AE－CD·BF=CD（AE+BF）                                     =CD·BG=CD·BG                         其中，称CD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽.（3）相似（三角函数）法如图，易知∠GBA=∠DCH=α，则cos∠GBA=cos∠DCH，∴，即BG·CD=AB·CH∴BG·CD=AB·CH=S△ABC.【一题多解 · 典例剖析】例题1．（2021·辽宁省阜新中考）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，过点B的直线交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求面积的最大值．【答案】（1）y=x2－2x－3；（2）.【解析】解：（1）将点A（－1,0），B（3,0）代入y=ax2+bx－3中，得：解得：a=1，b=－2即抛物线表达式为：y=x2－2x－3． （2）方法一：割补法如图，过C、P分别作x轴的垂线，垂足为H，Q，连接PH则S△PBC=S△PCH+S△PBH－S△BCH      =·CH·QH+·BH·PQ－×CH·BH设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，联立y=x－2，y=x2－2x－3，得：x=3，y=0；x=，y=即C（，）∴CH=，QH=m+，BH=，PQ=－ m2+2m+3，则S△PBC=×（m+）+×（－ m2+2m+3）－××=－m2+m+=－（m－）2+∵－<0，∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.方法二：铅垂高·水平宽法过点P作PD⊥x轴于D，交BC于E，过C作CF⊥PD于F则S△PBC=S△PCE+S△PBE=PE（CF+BD）=PE·（3+）设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，则E（m，m－2），PE=m－2－（m2－2m－3）=－ m2+m+1∴S△PBC=（－ m2+m+1）×       =－（m－）2+∵－<0，∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.方法三：底乘高 + 相似三角形法如图，过点P作PH⊥BC于H，过P作PM⊥x轴于M，交BC于D，过点C作CQ⊥x轴于Q，则∠HPD=∠ABC，∴Rt△PDH∽Rt△BCQ∴，即PH·BC=BQ·PD∴S△PBC=·BC·PH=BQ·PD设P（m，m2－2m－3），其中<m<3，则D（m，m－2），S△PBC=××（－ m2+m+1）=－（m－）2+∵－<0，∴当m=时，△PBC面积取最大值，最大值为.【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·黑龙江齐齐哈尔中考）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的对称轴为x==2，∴a=，即y=x2+2x+c，∵OA=1，A在抛物线上，则将A（－1,0）代入y=x2+2x+c得：c=，即抛物线的解析式为：y=x2+2x+.（2）由y=x2+2x+知，D点坐标为（2，），C（0，）∴CD=，故答案为：.（3）方法一：割补法设E（m，m2+2m+），如图，连接OE，过E作坐标轴垂线，垂足分别为F、H，则S△BCE=S△OCE+S△OBE－S△OBC=OC·EF+OB·EH－OB·OC=××m+×5×（m2+2m+）－×5×=（m－）2+当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.方法二：铅垂高·水平宽法如图，过点E作x轴的垂线，交BC于点F，由A（－1,0），抛物线对称轴为x=2，得B（5,0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C坐标代入得：，解得：，则直线BC的解析式为：y=x+，设点E的坐标为（m，m2+2m+），则F（m，m+），则0<t<5，则EF=m2+2m+－（m+）= m2+mS△BCE=·OB·EF=（ m2+m）×5=（m－）2+当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.方法三：公式+相似法如图，过点E作EH⊥BC于H，过E作EF⊥x轴于F交BC于M，易知∠CBO=∠HEM，则Rt△OBC∽Rt△HEM∴，即BC·EH=OB·EMS△BCE=·BC·EH= OB·EM=×5（ m2+m）=（m－）2+当m=时，△BCE面积取最大值，最大值为.【多题一解 · 典例剖析】例题2．（2021·江苏省连云港市中考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标.【答案】（1）m=－1，y=x－3；（2）（1,0）（2,1），，.【解析】解：（1）将（3，0）代入抛物线解析式得：m=0（舍）或m=－1∴m=－1即抛物线解析式为：y=－x2+4x－3，即C（0，－3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将（0，－3），（3,0）代入y=kx+b得： ，解得k=1，b=－3，即直线BC的函数表达式为y=x－3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=－x2+4x－3令y=0，得：x=1或x=3，即A（1,0），AB=2①如图，当点P在直线BC上方的抛物线上时，过P作PE∥y轴交直线BC于E，则S△PBC=OB·PE，S△ABC=AB·OC=3∴OB·PE=3即PE=2，设P（m，－m2+4m－3），则E（m，m－3）∴－m2+4m－3－（m－3）=2解得：m=1或m=2即P（1,0）或（2,1）②如图，当P在直线BC下方的抛物线上时，过P作y轴平行线交直线BC于E由①知，PE=2∴m－3－（－m2+4m－3）=2解得：m=或m=即P（，）或（，）综上所述，答案为：（1,0）（2,1），，.【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·江苏省扬州市中考改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点．、，与y轴交于点C．（1）________，________；（2）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标．【答案】（1）－2，－3；（2）（4，5）.【解析】解：（1）∵点A和点B在二次函数y=x2+bx+c图像上，∴，解得：，故答案为：－2，－3；（2）如图，过P作y轴平行线，交直线BC于D，交直线AC于E，由A（－1,0），B（3,0），C（0,－3）得：直线AC的解析式为：y=－3x－3直线BC的解析式为：y=x－3设P（m，m2－2m－3），则E（m，－3m－3），D（m，m－3）由S△APC=S△CPB，得：·OA·PE=·OB·PD即OA·PE= OB·PDPE=3PD∴m2－2m－3－（－3m－3）=3[ m2－2m－3－（m－3）]解得：m=0（舍）或m=5即P（5，12）.【多题一解 · 典例剖析】例题3．（2021·广西柳州市中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．【答案】（1）y=x2－x；（2）.【解析】解：（1）将（－1,0），（3,0），（0，）代入y=ax2+bx+c得：解得：故抛物线的解析式为：y=x2－x（2）如图，过M作MH⊥BC于H，过A作AD⊥BC于D，过M作ME⊥x轴于E交BC于F则,由∠BFE=∠HFM知，∠FMH=∠OBC，∴Rt△OBC∽Rt△HMF，∴由（1）知，OB=3，OC=，BC=，可得：AD==∴，即MH=FM∴===FM由（3,0），（0，）知直线BC的解析式为y=x设M（m，m2－m），则F（m，m）∴FM=m－(m2－m）=－m2+m，∴=FM=（－m2+m）=－（m－）2+∴当m=时，取最大值，最大值为.【多题一解 · 对标练习】练习3．（2021·四川省巴中市中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值. 【答案】（1）y=x2－x－3；（2）P（3，），.【解析】解：（1）将点A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2－x－3；（2）如图，过P点作直线l∥y轴，交x轴于E，交BC于F；过P作PD⊥BC于D，过A作AH⊥BC于H，则PD∥AH，∴,∵∠DFP=∠EFB，∴∠EBF=∠DPF∴Rt△OBC∽Rt△DPF∴，∵A（－2,0），B（6,0），C（0，－3）∴OB=6，OC=3，BC=，AB=8，∴AH=AB·OC÷BC=，∴PD====由B（6,0），C（0，－3）知直线BC解析式为：y=x－3，设P（m，m2－m－3），则F（m，m－3），则PF=m－3－（m2－m－3）=－ m2+m∴=PF=（－ m2+m）=－（m－3）2+∴当m=3时，取最大值，最大值为.