专题07 相似三角形的五种模型（原卷版）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练

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专题07 相似三角形的五种模型
相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。
模型一、A字型

A字型（平行） 反A字型（不平行）
例.如图，在中，点分别在上，且．
（1） 求证：；
（2）若点在上，与交于点，求证：．

【答案】见解析
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；
（2） ∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴,，∴．
【变式训练1】已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．

【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC=CECB，
∵CD2＝CF•CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD2＝BA•DE
【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求CE的长．
（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．

【答案】（1）6；（2）见解析
【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ADAD+BD=AEAE+EC，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．
（2）结论正确，理由如下，
在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ

【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．

【答案】（1）4；（2）
【解析】解：（1）∵平分，，∴．
在中，，，，
∴．
在中，，，，
∴．∴．
∵，∴
∴．
∴．
（3） ∵点是线段的中点，
∴．
∵，∴
∴．∴．
∵，∴
∴
∴．

模型二、8字型与反8字型相似

例.如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．

【答案】见解析
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，
∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，
∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝BD•DE．
【变式训练1】如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．

【答案】
【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC=AODO，
∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．
（2） ∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，
∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF=BECF．
∵AE＝BE，∴CF＝DF．
【变式训练2】如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值

【答案】32
【解析】∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AFBF=12，
∵BCCD=2，∴CD=13BD，∴AGCD=32，
∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴GEED=AGCD=32．
【变式训练3】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）∵，∴．
又∵．∴．
（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，．∴，．
又∵点是中点，∴．
由（1）知，∴，∴．
又∵，∴．
模型三、AX型（A字型及X字型两者相结合）
例.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．

【答案】见解析
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=13，∴FC＝6．
【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，
又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，
在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，
设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，
∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，
∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，
∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC, ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．

【变式训练2】如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．

【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，
∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF∥CD，∴AB∥EF．
（2）设△ABE的面积为m．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴S△CDE＝4m，
∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，
∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
【变式训练3】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；（2）求FG的长．

【答案】见解析
【解答】解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴BEBA=EFAD，即BEBE+6=26，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EGBC=AEAB，即EG8=66+3，∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF=103．


模型四、共边角模型（子母型）

例.在中，，垂足为，求的长

【答案】4
【解析】∵，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴．
【变式训练1】如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于（　　）

A．116 B．15 C．14 D．125
【解答】解：∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=5a，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a，∴CE=5a5，AE=45a5，∴CEAE=14，
∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2=116，故选：A．
【变式训练2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　　）

A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32∴BCAC=23，故选：B．
【变式训练3】如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

【答案】见解析
【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．
∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．

模型五、手拉手模型

例.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（　　）

A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，选A．
【变式训练1】如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【解析】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=OAOE，
∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正确，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，
∵△ABC∽△ADE，∴DEAE=BCAC=53，∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF=56AE，故④正确，
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故①错误．选D．
【变式训练2】已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．

【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，∴AEDE=EFCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．
（3） ∵AE•BD＝EF•AF，∴AEAF=EFBD，
∵AD＝AF，∴AEAD=EFBD，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
【变式训练3】已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα
【解析】（1）连接BF，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．
（2）不成立，结论：＝．证明：连接BF，
∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．
课后训练
1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为　　

A． B． C． D．
【解答】B
【解析】，是的中点，，，即，
同理可得，，，，
、分别是边、的中点，，，，
，，
图中阴影部分图形的面积，
即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为.
2.如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFC为（　　）

A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【答案】D
【解析】过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，∴∠CGD＝∠CFB，又∵∠C＝∠C，∴△CDG∽△CBF
∴CGCF=CDCB=12，即：CG=12CF＝FG
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF
同理可得：△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG=12，即：AF=12AG＝FG
∴AF＝FG＝GC，∴AFFC=AF2AF=12=1：2，选D．
3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则 　．

【答案】2:9
【解析】如图，连接

∵四边形是平行四边形，，，
为中点，，
，，
，，，
为中点，，.
4.如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为　 　．

【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝3，∴∠ABD＝120°，

①当点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，如图1所示：则△EFC是等边三角形．
∴∠CFE＝60°，EF＝CF＝CE，∴∠BFE＝120°＝∠ABD，
∵∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DFE，∴ABBD=DFEF，即31=DFEF，∴DF＝3EF，∴DF＝3CF，∴CD＝4CF，
∵BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC+BD＝4，∴CF＝1，∴CE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝2；

②点E在AC的延长线上时．如图2所示：
∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE，即34=1CE，解得：CE=43，
∴AE＝AC+CE＝3+43=133；
综上所述，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为2或133；
5.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若ADAC=37，求AFFG的值．

【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，
又∵ADAC=DFCG，∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=23，求FEEG的值．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF=BEDA．
又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，
∴GE=25-2AE=23×83EF=169EF，∴FEEG=916．
7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．

【解析】（1）∵是等边三角形 ∴，
在中，∴
∵点是线段的中点∴∴是等边三角形
∴，∴∴

∴∴四边形为平行四边形；
（2）①如图，连接，交于点 ∵∴∴
∵，∴ ∵∴；
②如图，作，垂足为
∵，，
∴∴，∴，
∴ ∴．
8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）AE＝
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，；
，，，；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
，，即，．
，，．
在中，，，，
．
9.如图1，在矩形中，于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．

【答案】（1）见解析；（1）见解析
【详解】证明：∵在矩形中，，，，
，，
，，
，，
，；
（2）证明：，，
，，
，，，
，，
，.
10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）四边形是正方形，，，
又，，
又，，，
在和中，
，，；
（2）过点作，设，，
如图2所示：

，，
又，，，，，
，解得：，，
在中，由勾股定理得：，
同理可得：，
又，，
在中，由勾股定理得：
，
．