专题22. 2解一元二次方程专项训练-2021-2022学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

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专题22.6 解一元二次方程专项训练-重难点题型
【华东师大版】


【题型1 用指定方法解一元二次方程】
【例1】（2020秋•新市区校级月考）用指定方法解方程：
（1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法）
（2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法）
（3）x2﹣5x+1＝0．（公式法）
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法）
【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵（2x﹣3）2﹣121＝0，
∴（2x﹣3）2＝121，
∴2x﹣3＝±11，
∴2x﹣3＝11或2x﹣3＝﹣11，
∴x1＝7，x2＝﹣4；
（2）∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝±11，
∴x﹣2=11或x﹣2=−11，
∴x1=11+2，x2＝2−11；
（3）∵x2﹣5x+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝21，
∴x=−b±b2−4ac2a=5±212，
∴x1=5+212，x2=5−212；
（4）∵3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
∴3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，解决本题的关键是灵活运用解一元二次方程的方法．
【变式1-1】（2020秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣7＝0（配方法）
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）
（3）3x2﹣4x+1＝0（公式法）
（4）5（x+1）2＝10（直接开平方法）
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用因式分解法解出方程；
（3）利用公式法解出方程；
（4）利用直接开平方法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0
x2﹣6x+9＝7+9
（x﹣3）2＝16
x﹣3＝±4
x1＝7，x2＝﹣1；
（2）2x﹣6＝（x﹣3）2
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0
x1＝3，x2＝5；
（3）3x2﹣4x+1＝0
x=4±26
x1＝1，x2=13；
（4）5（x+1）2＝10
x+1＝±2
x1=2−1，x2=−2−1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式1-2】（2020秋•盱眙县校级月考）用指定方法解下列一元二次方程．
（1）x2﹣36＝0 （直接开平方法）
（2）x2﹣4x＝2（配方法）
（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）
（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）
【分析】（1）直接开平方法求解；
（2）配方法求解可得；
（3）公式法求解即可；
（4）因式分解法解之可得．
【解答】解：（1）x2＝36，
∴x＝±6，
即x1＝﹣6，x2＝6；
（2）x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2=±6，
∴x1＝2−6，x2＝2+6；
（3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0，
∴x=5±174，
即x1=5−174，x2=5+174；
（4）（x+1+4）2＝0，即（x+5）2＝0，
∴x+5＝0，
即x1＝x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
【变式1-3】（2020春•诸城市期末）用指定的方法解下列方程
（1）2x2+3x＝1（配方法）
（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）
（3）2y2﹣42y＝0（因式分解法）
（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）
【分析】（1）首先二次项系数化1，进而利用完全平方公式配方得出答案；
（2）首先得出b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣3）＝49＞0，再利用求根公式得出答案；
（3）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程即可；
（4）直接利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．
【解答】解：（1）2x2+3x＝1（配方法）
x2+32x=12，
（x+34）2=1716，
则：x+34=±174，
解得：x1=−3+174，x2=−3−174；
（2）2x2+5x﹣3＝0（公式法）
∵b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣3）＝49＞0，
∴x=−5±494，
解得：x1＝﹣3，x2=12；
（3）2y2﹣42y＝0（因式分解法）
2y（y﹣22）＝0，
解得：y1＝0，y2＝22；
（4）x2﹣5x﹣14＝0（因式分解法）
（x﹣7）（x+2）＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了配方法以及公式法和因式分解法解方程，熟练应用各种解方程方法是解题关键．
【题型2 选择适当方法解一元二次方程】
【例2】（2020秋•宜兴市月考）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2（2x+1）2﹣18＝0；
（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2；
（3）x2﹣5x﹣24＝0；
（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．
【分析】（1）利用直接开方法解即可；
（2）（3）（4）利用因式分解法解即可．
【解答】解：（1）2（2x+1）2﹣18＝0，
移项得：（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴x1＝1，x2＝﹣2；
（2）（x﹣5）＝（x﹣5）2，
移项得：（x﹣5）﹣（x﹣5）2＝0，
因式分解得：（x﹣5）[1﹣（x﹣5）]＝0，
∴x﹣5＝0或1﹣x+5＝0，
∴x1＝6，x2＝6；
（3）x2﹣5x﹣24＝0，
（x﹣8）（x+3）＝0，
∴x﹣8＝0或x+3＝0，
∴x1＝8，x2＝﹣3；
（4）（x+1）（x+8）＝﹣12．
整理得：x2+9x+20＝0，
因式分解得：（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．
【点评】本题考查解一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，学会根据方程的特点采用适当的解法．
【变式2-1】（2020秋•站前区校级期中）用适当方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝9．
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
（2）x2+4x﹣5＝0．
（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】（1）（x﹣1）2＝9．
解：两边开方得：x﹣1＝±3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2．
（2）x2﹣4x﹣7＝0．
解：移项得：x2﹣4x＝7，
配方得：x2﹣4x+4＝7+4，
即（x﹣2）2＝11，
开方得：x﹣2＝±11，
∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2−11．
（3）x2+4x﹣5＝0．
解：因式分解得（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（4）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
解：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2=23．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式2-2】（2020春•如东县校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2＝18；
（2）x2﹣2x＝2x+1；
（3）（3y﹣1）（y+1）＝4；
（4）x（2x+3）＝2x+3．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）根据配方法即可求出答案；
（3）根据因式分解法即可求出答案；
（4）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）方程两边除以2，得：（x﹣1）2＝9，
则x﹣1＝3或﹣3，
则x1＝4，x2＝﹣2；
（2）原方程可整理为：x2﹣4x+4＝5，
则（x﹣2）2＝5，
则x﹣2=5或−5，
解得：x1＝2+5，x2＝2−5；
（3）整理，得：3y2+2y﹣5＝0，
分解因式得：（y﹣1）（3y+5）＝0，
则y﹣1＝0或3y+5＝0，
解得：y1＝1，y2=−53；
（4）移项，得：x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
分解因式得：（2x+3）（x﹣1）＝0，
则2x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=−32，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【变式2-3】（2020秋•河东区期中）用适当的方法解方程：
（1）25y2﹣16＝0；
（2）y2+2y﹣99＝0；
（3）3x2+2x﹣3＝0．
（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）用因式分解法解方程；
（3）用公式法解方程；
（2）用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）25y2﹣16＝0
y2=1625
y＝±45
∴y1=45，y2=−45
（2）y2+2y﹣99＝0
（y+11）（y﹣9）＝0
y1＝﹣11，y2＝9
（3）3x2+2x﹣3＝0
∵a＝3，b＝2，c＝﹣3
∴△＝4+36＝40
∴x=−2±2102×3
∴x1=−1+103，x2=−1−103
（4）（2x+1）2＝3（2x+1）；
（2x+1）（2x+1﹣3）＝0
x1=−12，x2＝1
【点评】本题考查了一元二次的解法，根据不同的题目选择恰当的一元二次方程的解法是本题的关键．
【题型3 用换元法解一元二次方程】
【例3】（2020秋•太原期末）解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
【分析】设x2+2x＝m，用m代替方程中的x2+2x，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程．
【解答】解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式3-1】（2020秋•兰州期中）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．请利用这种方法求下列方程：
（1）（2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0；
（2）32x﹣4×3x+3＝0．
【分析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）设2x+5＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣2＝0，
∴（y﹣2）（y+1）＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1．
当y＝2时，即2x+5＝2，解得x＝﹣1.5；
当y＝﹣1时，即2x+5＝﹣1，解得x＝﹣3，
所以原方程的解为x1＝﹣1.5，x2＝﹣3；
（2）原方程可变形为（3x）2﹣4×3x+3＝0，
设3x＝t，则原方程可化为t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3．
当t＝1时，即3x＝1，解得x＝0；
当t＝3时，即3x＝3，解得x＝1，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程，换元法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式3-2】（2020秋•香洲区校级月考）阅读材料并回答下面的问题：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看成为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0①，解得：y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5∴原方程的根为：x1=2，x2=−2，x3=5，x1=−5．
在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想，
请利用以上方法解方程：
①x4﹣x2﹣6＝0；
②（x2+3）2﹣9（x2+3）+20＝0．
【分析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：①令t＝x2，
∴t≥0，
∴原方程化为：t2﹣t﹣6＝0，
∴（t﹣3）（t+2）＝0，
∴t＝3或t＝﹣2（舍去），
∴x2＝3，
∴原方程的根为x＝±3．
（2）令t＝x2+3，
∴t≥3，
∴原方程化为：t2﹣9t+20＝0，
∴（t﹣4）（t﹣5）＝0，
∴t＝4或t＝5，
当t＝4时，
∴x2+3＝4，
∴x＝±1，
当t＝5时，
∴x2+3＝5，
∴x＝±2．
综上所述，原方程的根为x＝±1或x＝±2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
【变式3-3】（2020•渝中区校级三模）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【分析】（1）设2x2+2y2＝a，则原方程化为（a+3）（a﹣3）＝27，求出a，再求出x2+y2即可；
（1）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，列方程，并同理利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理得a2﹣9＝27，a2＝36，
∴a＝±6，
因为2x2+2y2≥0，所以2x2+2y2＝6，x2+y2＝3，
（2）设最小的正整数为x，则另三个分别为x+1、x+2、x+3，
根据题意得：x（x+1）（x+2）（x+3）＝11880，
[x（x+3）][（x+1）（x+2）]＝11880，
（x2+3x）（x2+3x+2）＝11880，
设x2+3x＝a，则原方程变为a（a+2）＝11880，整理得a2+2a＝11880，
a2+2a+1＝11881，
（a+1）2＝11881，
a+1＝±109，
∴a＝108或﹣110，
∵a是正整数，
∴a＝108，
∴x2+3x＝108，
x＝9或﹣12（舍）
答：这四个连续正整数分别是9，10，11，12．
【点评】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
【题型4 含绝对值的一元二次方程的解法】
【例4】（2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
①解得：　 　．
②综上，原方程的根是　 　．
③请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　．
【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：①当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解这个方程，x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）．
②综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；
③当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（均不合题意，舍）．
当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
∴原方程的根为x1＝2，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，读懂题目信息，理解分情况讨论去掉绝对值号把方程整理成一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式4-1】（2021春•蚌埠月考）阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．
（2）当m＜0时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．
原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2．
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝0．
【分析】分类讨论：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0；当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，然后利用因式分解法解两个方程，再利用m的范围确定满足原方程的解．
【解答】解：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0，解得：m1＝1，m2＝0（舍去）．
当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1 （舍去）．
原方程的解：m1＝1，m2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
【变式4-2】（2020秋•綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1；
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝﹣1，x4＝﹣2．
请观察上述方程的求解过程，试解方程x2﹣2|x﹣1|﹣1＝0．
【分析】分x﹣1大于等于0与小于0两种情况，求出方程的解即可．
【解答】解：当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1；
当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+2x﹣3＝0，即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣3，
综上，方程的解为x＝1或﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式4-3】（2020秋•富顺县校级期中）阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．
例：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1
∵x≥0，故x＝﹣1舍去，∴x＝2是原方程的解；
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1
∵x＜0，故x＝1舍去，∴x＝﹣2是原方程的解；
综上所述，原方程的解为x1＝2，x1＝﹣2．
解方程x2+2|x+2|﹣4＝0．
【分析】分x+2大于等于0与小于0两种情况，利用绝对值的代数意义化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：当x+2≥0，即x≥﹣2时，方程变形得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2；
当x+2＜0，即x＜﹣2时，方程变形得：x2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣4）（x+2）＝0，
解得：x1＝4（不合题意，舍去），x2＝﹣2（不合题意，舍去），
综上，原方程的解为x＝0或x＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．