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专题07 与角有关的数量关系的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1
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问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；
问题拓展：如图3，在中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
【答案】（1）45°；（2）25°；（3）
【解题思路分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由、、、共圆，得出；
（3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解．
【解析】解：（1）如图，，，
点、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
是所对的圆心角，而是所对的圆周角，
，
故答案为：；
（2）如图，取的中点，连接、．
，点为的中点，
∴
点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
∵
，
，
；
（3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
．
∵，，，
，
，，
∵在中，，，
，
．
2．（2021·北京海淀·清华附中九年级月考）已知∠AOB＝45°，P为射线OB上一定点，OP＝2，M为射线OA上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角．以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）Q为射线OA上一动点，E为MQ中点．连接PQ．若对于任意的点M总有ON＝PQ，请问点E的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点E的位置不改变，OE=2+
【解题思路分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．
（3）过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，证明△PDM≌△NCP（AAS），Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），根据勾股定理求出OD，根据PO=2DE，求出DE，最后求出OE的长度．
【解析】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵∠MPN=135°，
∴∠OPM+∠OPN=135°，
∵∠MOP+∠OPM+∠OMP=180°，∠POM=45°，
∴∠OPM+∠OMP=135°，
∴∠OMP=∠OPN．
（3）点E的位置不改变
解：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°，
由（2）得∠OMP=∠OPN，
∴∠PMD=∠NPC，
在△PDM与△NCP中，
∴△PDM≌△NCP（AAS），
∴PC=MD，PD=NC，
∵ON=QP，
∴Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），
∴OC=DQ，
∵PD⊥OA，
∴∠PDO=90°，
∵∠POD=45°，
∴∠OPD=180°-90°-45°=45°，
∴∠POD=∠OPD，
∴OD=DP，
∵OP=，
∴，
∴OD=2，
∵DE=OE-OD，ME=EQ=ED+DE，
DQ=MQ-MD=2（MD+DE）-MD=2DE+MD，
∴OC=2DE+MD，
∴PO=2DE+MD-PC=2DE，
∴DE=，
∴OE=OD+DE=2+．
3．（2021·济南市章丘区第四中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）见解析；（3）存在，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．
【解题思路分析】（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
（2）连接AC，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵B（-3，0），
∴C（3，0），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴射线AO是∠BAC的平分线；
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线交直线AB于点F，
设直线AB的解析式为y=kx+4，把B（-3，0）代入得：
0=-3k+4，解得：k=，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
设点F的坐标为（x，x+4），
依题意有：FA=FC，即FA2=FC2，
∴，
解得：x=-，-，
∴F（-，-）；
④AF是对角线时，过C作AB垂线，垂足为N，
∵A（0，4），B（-3，0），C（3，0），
∴OA=4，OB=3，OC=3，
∴AB=AC=，
三角形ABC的面积=BCAO=ABCN，
∴CN=，
由勾股定理得，AN=，
作A关于N的对称点即为F，AF=，
过F作y轴垂线，垂足为G，
∵FG∥BO，
∴，
∴FG=，AG=，则OG==，
∴F（-，）；
综上所述，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．
4．（2021·沈阳市尚品学校九年级月考）解答下列各题：
（1）问题发现
如图1，在和中，，，，连接，交于点．
填空：
①的值为____________；
②的度数为_____________；
（2）类比探究
如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，当点与点重合时，请直接写出三角形的面积．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）的面积为或．
【解题思路分析】（1）问题发现：①证明，得，比值为1；②由，得，根据三角形的内角和定理得：；
（2）类比探究：根据，根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由相似三角形的性质得的度数；
（3）拓展延伸：正确画出图形，当点与点重合时，有两种情况：同（2）可得：，则，，设，则，再分别求解 过作于 利用 求解 从而可得答案.
【解析】解：（1）问题发现
①如图1，，
，
，，
，
，
，
②，
，
，
，
在中，
，
故答案为：①1；②；
（2）类比探究
如图2，，，理由是：
中，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
在中，；
（3）拓展延伸
①点与点重合时，如图，同（2）得：，
同理可得：，
设，则，
中，，，
，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：
解得：（舍去）
过作于 而
·
②点与点重合时，如图，同（2）得：，
同理可得：，
设，则，
中，，，
，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：
解得：（舍去）
过作于 而
·
综上所述，的面积为或．
5．（2021·哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图，直线y＝3x+3交x轴于点B，交y轴于点A，点C为x轴正半轴上一点，且AC＝BC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P从点O出发沿y轴的正方向运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，过点P作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D、E，若设DE＝d，求d与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在OA的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求点E的坐标．
【答案】（1）y＝−x＋3；（2）d＝；（3）E（−，）
【解题思路分析】（1）由y＝3x＋3得A（0，3），B（−1，0），设C（m，0），m＞0，根据AC＝BC，可得C（4，0），设直线AC解析式为y＝kx＋3，用待定系数法即得直线AC解析式为y＝−x＋3；
（2）由y＝3x＋3得D（−1，t），由y＝−x＋3得E（−t＋4，t），当0≤t≤3时，DE＝xE−xD＝−t＋5，即d＝−t＋5，当t＞3时，DE＝xD−xE＝t−5，即d＝t−5；
（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，由2∠BED＝3∠BCE，得2（∠BEC＋∠DEC）＝3∠BCE，即2（∠BEC＋∠BCE）＝3∠BCE，故∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，而AC＝BC，DE∥x轴，得∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，ED＝EA，得∠DEC＝2∠DEM，DM＝ AD，即有∠DEM＝∠BEC，sin∠DEM＝sin∠BEC，即D即，
DM•BE＝ED•BN，而ED＝t−5，BN＝OA＝3，即得DM•BE＝5（t−3），根据D（−1，t），E（−t＋4，t），A（0，3），B（−1，0），得DM＝（t−3），BE＝，列出方程，进而即可求解．
【解析】解：（1）在y＝3x＋3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝−1，
∴A（0，3），B（−1，0），
设C（m，0），m＞0，则AC＝，BC＝m＋1，
∵AC＝BC，
∴＝m＋1，解得m＝4，
∴C（4，0），
设直线AC解析式为y＝kx＋3，则0＝4k＋3，
∴k＝−，
∴直线AC解析式为：y＝−x＋3；
（2）在y＝3x＋3中，令y＝t得x＝＝−1，
∴D（−1，t），
在y＝−x＋3，令y＝t得x＝−t＋4，
∴E（−t＋4，t），
当0≤t≤3时，如图：
∵DE＝xE−xD＝（−t＋4）−（−1）＝−t＋5，
∴d＝−t＋5，
当t＞3时，如图：
∵DE＝xD−xE＝（−1）−（−t＋4）＝t-5，
∴d＝t-5，
综上所述，d＝；
（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，如图：
∵2∠BED＝3∠BCE，
∴2（∠BEC＋∠DEC）＝3∠BCE，
∵DE∥x轴，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴2（∠BEC＋∠BCE）＝3∠BCE，
∴∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，
∵AC＝BC，DE∥x轴，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵EM⊥AD，
∴∠DEC＝2∠DEM，DM＝AD，
∴∠DEM＝∠BEC，
∴sin∠DEM＝sin∠BEC，即，
∴DM•BE＝ED•BN，
由（2）知：当t＞3时，ED＝−5，
∵BC•OA＝AC•BN，AC＝BC，
∴BN＝OA＝3，
∴DM•BE＝（−5）×3＝5（t−3），
由（2）知：D（−1，t），E（−t＋4，t），
而A（0，3），B（−1，0），
∴DM＝AD＝＝＝
＝（t−3），
同理：BE＝，
∴（t−3）∙=5（t−3），
∵t＞3，
∴∙=5，解得t＝或t＝−3（舍去），
∴E（−，）．
6．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，已知为直径，点为弧的中点，为弦，过点作的垂线，垂足为．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交⊙O于，交于，过作的垂线交于，交⊙O于点，连接，若，（），求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解题思路分析】（1）连接，，；
（2）连接，，说明，可得、、、共圆，利用圆周角定理得证；
（3），，由求得，再求出半径，可求得的度数．
【解析】解：（1）证明：如图1，
连接，，
是直径，
是半圆，
点是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
连接，，
由（1）知：
，
点、、、四点共圆，
；
（3）如图3，
，
，
，
在中，
，
在 中，，，
，
，
，
，
，
由得，
，
或（舍去），
设⊙O的半径为，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
或（舍去），
，
，
，
．
7．（2021·日照港中学九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；
（3）已知是轴上的点，是抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的点的坐标，
【答案】（1）抛物线得解析式为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）或（-4，0）．
【解题思路分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）四点作平行四边形，以已知线段为边和对角线分类讨论，当为边时，以，点B到x轴距离等于点F到x轴的距离，先求出点F坐标，再建构方程求解，当为对角线时，与互相平分，利用BF∥EC，点F与点B的纵坐标相同，先求出点F即可求出点坐标．
【解析】解：（1）在中，令，得，令，得
把，代入，得
，
解得
抛物线得解析式为
（2）如图，过点作轴得平行线交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为
∵BE∥x轴，
即
设点的坐标为 ，则
，
，即
解得（舍去），
当时，
点的坐标为
（3）设点E（m，0），
，
解得，，
∴点C（-1，0），
当为边时，CB∥EF，CB=EF ,点E在x轴上，
点B到x轴距离等于点F到x轴的距离，
∵，
∴yF=2或-2，
当yF=2时，
解得x=0，或x=3，
∴点F（3，2），
∵BF=CE，
∴m+1=3-0，
解得m=2，
点E（2，0），
当yF=-2时，
，
整理得
△=，
∴，
点F（，-2）或（，-2），
当点F（，-2）, +1=m-0，
∴m =，
点E（，0），
当点F（，-2）时，+1=m-0，
∴m =，
点E（，0），
当为对角线时，与互相平分，
∵点E在x轴上，EC∥BF，且EC=BF，
∴点F与点B的纵坐标相同，
∴yF=2，
当yF=2时，
解得x=0，或x=3，
∴点F（3，2），
-1-m=3-0，
∴m=-4，
∴点E（-4,0）；
点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）或（-4,0）．
8．（2021·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；
（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；
（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）34°
【解题思路分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的，由此可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，进而证明≌，由此即可证得结论；
（2）根据翻折可设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，利用勾股定理可得，由此解得，，在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案；
（3）连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，根据等腰三角形的性质可得∠AFE＝，再通过相似三角形的判定与性质可得∠AQE＝∠AFE＝，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案．
【解析】（1）证明：如图1，将绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
在与中，
，
≌（SAS），
∴EF＝FG，
∵DG+FD＝FG，
∴BE＋FD＝EF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°，
∵BE＝3，EC＝2，
∴AB＝BC＝5，
∵翻折，
∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵翻折，
∴∠GEF＝∠A＝90°，
∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°，
∴∠FEC＝∠BGE，
又∵∠B＝∠C，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴EF的长为；
（3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，
∵EF＝EA，
∴∠EAF＝∠EFA＝，
∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE，
∴，
∴，
∴，
又∵∠FOA＝∠QOE，
∴，
∴∠AQE＝∠AFE＝，
∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°，
∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°，
∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°，
∴56°＋m＋＝180°，
解得：m＝68°，
∵∠D＝90°，
∴∠QAD＝90°－∠AQE
＝90°－()
＝
＝34°，
故答案为：34．
9．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解题思路分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得~，可得，即可求得．
【解析】（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数解析式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,
则
∴
又∵
∴~，
同理：~
∴
∴
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．
（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；
（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）的长为或．
【解题思路分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接．证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，设交于．图中，设交于，当时，利用三角形的中位线定理，可得，求出，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：如图2中，连接．
，，
，，
，
，
，
平分．
（3）解：如图中，设交于．
，，
是等腰直角三角形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，设交于，当时，同法可证．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
11．如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为⊙B上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．
（1）求的度数，并证明~；
（2）若点P在上时，
①在图2中画出；
②连接，求的长；
（3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；证明见解析；（2）①见解析；②；（3）取得最大值时，；取得最小值时，．
【解题思路分析】（1）利用锐角三角函数求出即可；先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出，进而得出，再利用相似求出，即可得出结论；
（3）先求出是定值，判断出点在以点为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵在中，，，
，
；
②，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图1所示；
②如图2，连接，
由（1）知，，
，
，
，
，，
点在上，
，
；
又∵，
∴在中，，，根据勾股定理得，；
（3）由（1）知，，
，
，
是定值，
点是在以点为圆心，半径为的圆上，
①如图3，
点在的延长线上，此时，取得最大值，
，
，
，
取得最大值时，；
②如图4，点在线段上时，取得最小值，
，
，
取得最小值时，．
12．如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【解题思路分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【解析】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
13．若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC＝∠BOC时，我们称OC是（OA，OB）的“和谐线”，但OC不是（OB，OA）的“和谐线”．
（1）如图①，已知OM⊥ON，射线OG是ON的反向延长线，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线 是（OM，ON）的“和谐线”；
（2）如图②，若∠AOB=60°，OC是（OA，OB）的“和谐线”，则∠BOC= °．
（3）如图③，若∠AOB=60°，射线OP，OQ同时从OB开始，分别以每秒10°和每秒6°的速度按逆时针方向绕点O旋转．求射线OP成为两条射线OA和OQ的“和谐线”时，射线OP旋转的时间t的值．（0＜t＜18）
【答案】（1）OG、OE；（2）或；（3）或或
【解题思路分析】（1）根据定义，证明和，得到OG和OE是【OM，ON】的“和谐线”；
（2）分情况讨论，OC在内或外，由定义得，分别算出的度数；
（3）进行分类讨论，OP是【OQ，OA】的“和谐线”或OP是【OA，OQ】的“和谐线”，画出图形，根据角度的运动时间t，表示出角度，列式求出t的值．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴OG是【OM，ON】的“和谐线”，
∵OE、OF是的三等分线，
∴，，
∴，
∴OE是【OM，ON】的“和谐线”，
故答案是：OG、OE；
（2）①如图，OC在内，
∵OC是【OA，OB】的“和谐线”，
∴，
∴；
②如图，OC在外，
∵OC是【OA，OB】的“和谐线”，
∴，
∴，
故答案是：或；
（3）根据题意，设，，
①如图，此时OP是【OQ，OA】的“和谐线”，
∴，
，
，
，解得；
②如图，此时OP是【OA，OQ】的“和谐线”，
∴，
，解得；
③如图，此时OP是【OA，OQ】的“和谐线”，
∴，
，
，
，解得
如图，此时OP是【OQ，OA】的“和谐线”，
∴，
，解得（舍去），
综上：t的取值为或或．
14．（2021·福建省福州外国语学校九年级三模）抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧）．
（1）求b与m的数量关系；
（2）若直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且在内部．
①当时，求证：平分；
②当时，，分别交y轴于C，D两点，求证：是一个定值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【解题思路分析】（1）由、的中点在函数的对称轴上，则有，即可求；
（2）①当时，，可求函数解析式为，联立，设，，，，则有，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，，，所以，，可求得，所以，即可证明，所以平分；
（3）由，可求，求的直线解析式为，直线的解析式为，所以，，则，，联立，由韦达定理可得，，所以，由在上，可得，所以为定值．
【解析】解：（1）点，的中点为，，
函数的对称轴为直线，
，
；
（2）①当时，，，
将点代入，解得，
，
联立，
整理得，
设，，，，
，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，，，
，，
，
，
，
平分；
（3），
，
由（2）可求的直线解析式为，
直线的解析式为，
，，
，，
联立，
，
，，
，
在上，
，
，
，
为定值．
15．（2021·哈尔滨市第一一三中学校九年级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【解题思路分析】（1）根据等边三角形的性质，可得的，进而可得，根据等弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）作的角平分线，交于点，设，进而证明以及，进而即可证明；
（3）延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，由等边三角形性质和圆周角性质对图形中角进行转换求值可得：，即和是等腰三角形，，，在中，，可得，由此求出在中， ，，，，再利用30°直角三角形性质和勾股定理求出AT即可．
【解析】（1）证明：是等边三角形，
∴
∠ADB＝∠CDB；
（2）证明：如图，
作的角平分线，交于点，设，
∵，
∴
，
是等边三角形
，
∵
在与中
（SAS）
，；
∴是等边三角形
∴
在与中
（ASA）
即
（3）解：设，则，
如解图（3）-1，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，
∵CM是∠BCF的平分线，
由（2）得，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵设，
则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
∴
在中， ，，，，
如解图（3）-2，过R点作AM边的高HR，
∴，
∴，，
∴，
在中， ，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
16．（2021·沈阳市第三十三中学九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ ，∠ABP＝ （用含α的代数式表示）
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
【答案】（1）180°-2α，α；（2）见解析；（3）或
【解题思路分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接BD．证明∠PBC=∠CDE=α，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，设BP交AC于J．图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得GM=PB，求出PB，可得结论．
【解析】解：（1）如图1中，
∵CE=CD，
∴∠D=∠E=α，
∴∠ECD=180°-2α，
∴∠ECB=∠E+∠D=2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠D=α，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=α，
故答案为：180°-2α，α．
（2）证明：如图2中，连接BD．
∵CB=CD，PB=PD，
∴∠CBD=∠CDB，∠PBD=∠PDB，
∴∠PBC=∠PDC=α，
∵∠ABC=2α，
∴∠ABP=∠PBC=α，
∴PB平分∠ABC．
（3）如图3-1中，设BP交AC于J．
∵BP⊥PD，BP=PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB=CD，PB=PD，
∴PG垂直平分线段BD，
∴BG=DG，
∵PM=MD，
∴GM=PB，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD=180°-60°=120°，△ACB是等边三角形，
∵CE=CD，
∴∠CDE=30°，
∴∠PBC=∠PDC=30°，
∴∠BJC=90°，
∴CJ=BC=，BJ=CJ=，
∵∠CPD=∠CPJ=45°，
∴PJ=JC=，
∴PB=BJ+PJ=+2，
∴GM=；
如图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，同法可证GM=PB．
∵∠PBC=30°，∠GPB=∠PBC+∠PCB=45°，
∴∠PCB=∠PCD=15°，
∴∠KCE=120°-15°-15°=90°，
∵∠E=30°，CE=CB=，
∴CK=，
∴BK=BC-CK=，
∴PB===1，
∴GM=PB=，
综上所述，GM的长为或．
问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；
问题拓展：如图3，在中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝4，CD＝2，求AD的长．
【答案】（1）45°；（2）25°；（3）
【解题思路分析】（1）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由、、、共圆，得出；
（3）作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得，，进而求解．
【解析】解：（1）如图，，，
点、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
是所对的圆心角，而是所对的圆周角，
，
故答案为：；
（2）如图，取的中点，连接、．
，点为的中点，
∴
点、、、在以点为圆心，长为半径的圆上，
∵
，
，
；
（3）如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，
．
∵，，，
，
，，
∵在中，，，
，
．
2．（2021·北京海淀·清华附中九年级月考）已知∠AOB＝45°，P为射线OB上一定点，OP＝2，M为射线OA上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角．以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）Q为射线OA上一动点，E为MQ中点．连接PQ．若对于任意的点M总有ON＝PQ，请问点E的位置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点E的位置不改变，OE=2+
【解题思路分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．
（3）过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，证明△PDM≌△NCP（AAS），Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），根据勾股定理求出OD，根据PO=2DE，求出DE，最后求出OE的长度．
【解析】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵∠MPN=135°，
∴∠OPM+∠OPN=135°，
∵∠MOP+∠OPM+∠OMP=180°，∠POM=45°，
∴∠OPM+∠OMP=135°，
∴∠OMP=∠OPN．
（3）点E的位置不改变
解：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2，
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°，
由（2）得∠OMP=∠OPN，
∴∠PMD=∠NPC，
在△PDM与△NCP中，
∴△PDM≌△NCP（AAS），
∴PC=MD，PD=NC，
∵ON=QP，
∴Rt△OCN≌Rt△QDP（HL），
∴OC=DQ，
∵PD⊥OA，
∴∠PDO=90°，
∵∠POD=45°，
∴∠OPD=180°-90°-45°=45°，
∴∠POD=∠OPD，
∴OD=DP，
∵OP=，
∴，
∴OD=2，
∵DE=OE-OD，ME=EQ=ED+DE，
DQ=MQ-MD=2（MD+DE）-MD=2DE+MD，
∴OC=2DE+MD，
∴PO=2DE+MD-PC=2DE，
∴DE=，
∴OE=OD+DE=2+．
3．（2021·济南市章丘区第四中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）见解析；（3）存在，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．
【解题思路分析】（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
（2）连接AC，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵B（-3，0），
∴C（3，0），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴射线AO是∠BAC的平分线；
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0）；
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）；
③AC是对角线时，作AC垂直平分线交直线AB于点F，
设直线AB的解析式为y=kx+4，把B（-3，0）代入得：
0=-3k+4，解得：k=，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
设点F的坐标为（x，x+4），
依题意有：FA=FC，即FA2=FC2，
∴，
解得：x=-，-，
∴F（-，-）；
④AF是对角线时，过C作AB垂线，垂足为N，
∵A（0，4），B（-3，0），C（3，0），
∴OA=4，OB=3，OC=3，
∴AB=AC=，
三角形ABC的面积=BCAO=ABCN，
∴CN=，
由勾股定理得，AN=，
作A关于N的对称点即为F，AF=，
过F作y轴垂线，垂足为G，
∵FG∥BO，
∴，
∴FG=，AG=，则OG==，
∴F（-，）；
综上所述，满足条件的点有四个：（3，8）或F（-3，0）或（-，-）或（-，）．
4．（2021·沈阳市尚品学校九年级月考）解答下列各题：
（1）问题发现
如图1，在和中，，，，连接，交于点．
填空：
①的值为____________；
②的度数为_____________；
（2）类比探究
如图2，在和中，，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数，说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，当点与点重合时，请直接写出三角形的面积．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）的面积为或．
【解题思路分析】（1）问题发现：①证明，得，比值为1；②由，得，根据三角形的内角和定理得：；
（2）类比探究：根据，根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由相似三角形的性质得的度数；
（3）拓展延伸：正确画出图形，当点与点重合时，有两种情况：同（2）可得：，则，，设，则，再分别求解 过作于 利用 求解 从而可得答案.
【解析】解：（1）问题发现
①如图1，，
，
，，
，
，
，
②，
，
，
，
在中，
，
故答案为：①1；②；
（2）类比探究
如图2，，，理由是：
中，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
在中，；
（3）拓展延伸
①点与点重合时，如图，同（2）得：，
同理可得：，
设，则，
中，，，
，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：
解得：（舍去）
过作于 而
·
②点与点重合时，如图，同（2）得：，
同理可得：，
设，则，
中，，，
，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：
解得：（舍去）
过作于 而
·
综上所述，的面积为或．
5．（2021·哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图，直线y＝3x+3交x轴于点B，交y轴于点A，点C为x轴正半轴上一点，且AC＝BC．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P从点O出发沿y轴的正方向运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，过点P作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D、E，若设DE＝d，求d与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在OA的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求点E的坐标．
【答案】（1）y＝−x＋3；（2）d＝；（3）E（−，）
【解题思路分析】（1）由y＝3x＋3得A（0，3），B（−1，0），设C（m，0），m＞0，根据AC＝BC，可得C（4，0），设直线AC解析式为y＝kx＋3，用待定系数法即得直线AC解析式为y＝−x＋3；
（2）由y＝3x＋3得D（−1，t），由y＝−x＋3得E（−t＋4，t），当0≤t≤3时，DE＝xE−xD＝−t＋5，即d＝−t＋5，当t＞3时，DE＝xD−xE＝t−5，即d＝t−5；
（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，由2∠BED＝3∠BCE，得2（∠BEC＋∠DEC）＝3∠BCE，即2（∠BEC＋∠BCE）＝3∠BCE，故∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，而AC＝BC，DE∥x轴，得∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，ED＝EA，得∠DEC＝2∠DEM，DM＝ AD，即有∠DEM＝∠BEC，sin∠DEM＝sin∠BEC，即D即，
DM•BE＝ED•BN，而ED＝t−5，BN＝OA＝3，即得DM•BE＝5（t−3），根据D（−1，t），E（−t＋4，t），A（0，3），B（−1，0），得DM＝（t−3），BE＝，列出方程，进而即可求解．
【解析】解：（1）在y＝3x＋3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝−1，
∴A（0，3），B（−1，0），
设C（m，0），m＞0，则AC＝，BC＝m＋1，
∵AC＝BC，
∴＝m＋1，解得m＝4，
∴C（4，0），
设直线AC解析式为y＝kx＋3，则0＝4k＋3，
∴k＝−，
∴直线AC解析式为：y＝−x＋3；
（2）在y＝3x＋3中，令y＝t得x＝＝−1，
∴D（−1，t），
在y＝−x＋3，令y＝t得x＝−t＋4，
∴E（−t＋4，t），
当0≤t≤3时，如图：
∵DE＝xE−xD＝（−t＋4）−（−1）＝−t＋5，
∴d＝−t＋5，
当t＞3时，如图：
∵DE＝xD−xE＝（−1）−（−t＋4）＝t-5，
∴d＝t-5，
综上所述，d＝；
（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，如图：
∵2∠BED＝3∠BCE，
∴2（∠BEC＋∠DEC）＝3∠BCE，
∵DE∥x轴，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴2（∠BEC＋∠BCE）＝3∠BCE，
∴∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，
∵AC＝BC，DE∥x轴，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵EM⊥AD，
∴∠DEC＝2∠DEM，DM＝AD，
∴∠DEM＝∠BEC，
∴sin∠DEM＝sin∠BEC，即，
∴DM•BE＝ED•BN，
由（2）知：当t＞3时，ED＝−5，
∵BC•OA＝AC•BN，AC＝BC，
∴BN＝OA＝3，
∴DM•BE＝（−5）×3＝5（t−3），
由（2）知：D（−1，t），E（−t＋4，t），
而A（0，3），B（−1，0），
∴DM＝AD＝＝＝
＝（t−3），
同理：BE＝，
∴（t−3）∙=5（t−3），
∵t＞3，
∴∙=5，解得t＝或t＝−3（舍去），
∴E（−，）．
6．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，已知为直径，点为弧的中点，为弦，过点作的垂线，垂足为．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交⊙O于，交于，过作的垂线交于，交⊙O于点，连接，若，（），求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解题思路分析】（1）连接，，；
（2）连接，，说明，可得、、、共圆，利用圆周角定理得证；
（3），，由求得，再求出半径，可求得的度数．
【解析】解：（1）证明：如图1，
连接，，
是直径，
是半圆，
点是的中点，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
连接，，
由（1）知：
，
点、、、四点共圆，
；
（3）如图3，
，
，
，
在中，
，
在 中，，，
，
，
，
，
，
由得，
，
或（舍去），
设⊙O的半径为，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
或（舍去），
，
，
，
．
7．（2021·日照港中学九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；
（3）已知是轴上的点，是抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的点的坐标，
【答案】（1）抛物线得解析式为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）或（-4，0）．
【解题思路分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）四点作平行四边形，以已知线段为边和对角线分类讨论，当为边时，以，点B到x轴距离等于点F到x轴的距离，先求出点F坐标，再建构方程求解，当为对角线时，与互相平分，利用BF∥EC，点F与点B的纵坐标相同，先求出点F即可求出点坐标．
【解析】解：（1）在中，令，得，令，得
把，代入，得
，
解得
抛物线得解析式为
（2）如图，过点作轴得平行线交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为
∵BE∥x轴，
即
设点的坐标为 ，则
，
，即
解得（舍去），
当时，
点的坐标为
（3）设点E（m，0），
，
解得，，
∴点C（-1，0），
当为边时，CB∥EF，CB=EF ,点E在x轴上，
点B到x轴距离等于点F到x轴的距离，
∵，
∴yF=2或-2，
当yF=2时，
解得x=0，或x=3，
∴点F（3，2），
∵BF=CE，
∴m+1=3-0，
解得m=2，
点E（2，0），
当yF=-2时，
，
整理得
△=，
∴，
点F（，-2）或（，-2），
当点F（，-2）, +1=m-0，
∴m =，
点E（，0），
当点F（，-2）时，+1=m-0，
∴m =，
点E（，0），
当为对角线时，与互相平分，
∵点E在x轴上，EC∥BF，且EC=BF，
∴点F与点B的纵坐标相同，
∴yF=2，
当yF=2时，
解得x=0，或x=3，
∴点F（3，2），
-1-m=3-0，
∴m=-4，
∴点E（-4,0）；
点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）或（-4,0）．
8．（2021·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；
（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；
（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）34°
【解题思路分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的，由此可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，进而证明≌，由此即可证得结论；
（2）根据翻折可设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，利用勾股定理可得，由此解得，，在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案；
（3）连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，根据等腰三角形的性质可得∠AFE＝，再通过相似三角形的判定与性质可得∠AQE＝∠AFE＝，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案．
【解析】（1）证明：如图1，将绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
在与中，
，
≌（SAS），
∴EF＝FG，
∵DG+FD＝FG，
∴BE＋FD＝EF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°，
∵BE＝3，EC＝2，
∴AB＝BC＝5，
∵翻折，
∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵翻折，
∴∠GEF＝∠A＝90°，
∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°，
∴∠FEC＝∠BGE，
又∵∠B＝∠C，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴EF的长为；
（3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，
∵EF＝EA，
∴∠EAF＝∠EFA＝，
∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE，
∴，
∴，
∴，
又∵∠FOA＝∠QOE，
∴，
∴∠AQE＝∠AFE＝，
∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°，
∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°，
∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°，
∴56°＋m＋＝180°，
解得：m＝68°，
∵∠D＝90°，
∴∠QAD＝90°－∠AQE
＝90°－()
＝
＝34°，
故答案为：34．
9．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，直线与反比例函数交于、B两点，过点A作x轴的垂线与过点B垂直于y轴的直线交于点C，且的面积为8，
（1）求反比例函数解析式；
（2）点E、F是第一象限内反比例函数上两点，设点E的横坐标为a，点F的横坐标为b，，连接、、、，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解题思路分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的图像关于坐标原点中心对称，设，进而求得的坐标，进而求得的长，根据的面积为8，即可求得的值；
（2）过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,根据题意以及（1）的结论，可知，,，进而求得，进而证明，可得，，同理可得~，可得，即可求得．
【解析】（1）设
由中心对称可知点
∴，
∵
∴
∴
∴反比例函数解析式为
（2），理由如下：
联立，可得，
∵点E、F的横坐标为a
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足为，过点作垂足为，交于点,
则
∴
又∵
∴~，
同理：~
∴
∴
10．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．
（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；
（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；
（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）的长为或．
【解题思路分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接．证明，可得结论．
（3）分两种情形：如图中，设交于．图中，设交于，当时，利用三角形的中位线定理，可得，求出，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：如图2中，连接．
，，
，，
，
，
，
平分．
（3）解：如图中，设交于．
，，
是等腰直角三角形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，设交于，当时，同法可证．
，，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
11．如图1，在中，，以点B为圆心，半径作圆．点Р为⊙B上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接．
（1）求的度数，并证明~；
（2）若点P在上时，
①在图2中画出；
②连接，求的长；
（3）点P在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请直接写出取得最大值或最小值时的度数；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；证明见解析；（2）①见解析；②；（3）取得最大值时，；取得最小值时，．
【解题思路分析】（1）利用锐角三角函数求出即可；先判断出，再判断出，即可得出结论；
（2）①利用垂直和线段的关系即可画出图形；②先求出，进而得出，再利用相似求出，即可得出结论；
（3）先求出是定值，判断出点在以点为圆心，1为半径的圆上，即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵在中，，，
，
；
②，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图1所示；
②如图2，连接，
由（1）知，，
，
，
，
，，
点在上，
，
；
又∵，
∴在中，，，根据勾股定理得，；
（3）由（1）知，，
，
，
是定值，
点是在以点为圆心，半径为的圆上，
①如图3，
点在的延长线上，此时，取得最大值，
，
，
，
取得最大值时，；
②如图4，点在线段上时，取得最小值，
，
，
取得最小值时，．
12．如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在处，顶点D落在处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边与边重合，若，求_______，_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边落在内部，若，设，，求与之间的数量关系，并直接写出，的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【解题思路分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【解析】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
13．若同一平面内三条射线OA、OB、OC有公共端点，且满足∠AOC＝∠BOC时，我们称OC是（OA，OB）的“和谐线”，但OC不是（OB，OA）的“和谐线”．
（1）如图①，已知OM⊥ON，射线OG是ON的反向延长线，OE、OF是∠MON的三等分线，则射线 是（OM，ON）的“和谐线”；
（2）如图②，若∠AOB=60°，OC是（OA，OB）的“和谐线”，则∠BOC= °．
（3）如图③，若∠AOB=60°，射线OP，OQ同时从OB开始，分别以每秒10°和每秒6°的速度按逆时针方向绕点O旋转．求射线OP成为两条射线OA和OQ的“和谐线”时，射线OP旋转的时间t的值．（0＜t＜18）
【答案】（1）OG、OE；（2）或；（3）或或
【解题思路分析】（1）根据定义，证明和，得到OG和OE是【OM，ON】的“和谐线”；
（2）分情况讨论，OC在内或外，由定义得，分别算出的度数；
（3）进行分类讨论，OP是【OQ，OA】的“和谐线”或OP是【OA，OQ】的“和谐线”，画出图形，根据角度的运动时间t，表示出角度，列式求出t的值．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴OG是【OM，ON】的“和谐线”，
∵OE、OF是的三等分线，
∴，，
∴，
∴OE是【OM，ON】的“和谐线”，
故答案是：OG、OE；
（2）①如图，OC在内，
∵OC是【OA，OB】的“和谐线”，
∴，
∴；
②如图，OC在外，
∵OC是【OA，OB】的“和谐线”，
∴，
∴，
故答案是：或；
（3）根据题意，设，，
①如图，此时OP是【OQ，OA】的“和谐线”，
∴，
，
，
，解得；
②如图，此时OP是【OA，OQ】的“和谐线”，
∴，
，解得；
③如图，此时OP是【OA，OQ】的“和谐线”，
∴，
，
，
，解得
如图，此时OP是【OQ，OA】的“和谐线”，
∴，
，解得（舍去），
综上：t的取值为或或．
14．（2021·福建省福州外国语学校九年级三模）抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧）．
（1）求b与m的数量关系；
（2）若直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），且在内部．
①当时，求证：平分；
②当时，，分别交y轴于C，D两点，求证：是一个定值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【解题思路分析】（1）由、的中点在函数的对称轴上，则有，即可求；
（2）①当时，，可求函数解析式为，联立，设，，，，则有，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，，，所以，，可求得，所以，即可证明，所以平分；
（3）由，可求，求的直线解析式为，直线的解析式为，所以，，则，，联立，由韦达定理可得，，所以，由在上，可得，所以为定值．
【解析】解：（1）点，的中点为，，
函数的对称轴为直线，
，
；
（2）①当时，，，
将点代入，解得，
，
联立，
整理得，
设，，，，
，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，，，
，，
，
，
，
平分；
（3），
，
由（2）可求的直线解析式为，
直线的解析式为，
，，
，，
联立，
，
，，
，
在上，
，
，
，
为定值．
15．（2021·哈尔滨市第一一三中学校九年级月考）如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是弧AC上一点，连接BD交AC于E．
（1）如图1，求证∠ADB＝∠CDB；
（2）如图2，点F为线段BD上一点，连接CF，若∠BCF＝2∠ABD时，求证：BF＝DE+AD；
（3）在（2）的条件下，作∠BCF的平分线交⊙O于M，在CM上取点R，连接AR交CF于点T，若TR＝1，MR＝5，∠CAT＝3∠ACD，求AT的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【解题思路分析】（1）根据等边三角形的性质，可得的，进而可得，根据等弧所对的圆周角相等即可得证；
（2）作的角平分线，交于点，设，进而证明以及，进而即可证明；
（3）延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，由等边三角形性质和圆周角性质对图形中角进行转换求值可得：，即和是等腰三角形，，，在中，，可得，由此求出在中， ，，，，再利用30°直角三角形性质和勾股定理求出AT即可．
【解析】（1）证明：是等边三角形，
∴
∠ADB＝∠CDB；
（2）证明：如图，
作的角平分线，交于点，设，
∵，
∴
，
是等边三角形
，
∵
在与中
（SAS）
，；
∴是等边三角形
∴
在与中
（ASA）
即
（3）解：设，则，
如解图（3）-1，延长CF交⊙O点P，交AM于N点，连接PA，过M点作，交AR于Q点，
∵CM是∠BCF的平分线，
由（2）得，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵设，
则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∴，，
∴
在中， ，，，，
如解图（3）-2，过R点作AM边的高HR，
∴，
∴，，
∴，
在中， ，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
16．（2021·沈阳市第三十三中学九年级月考）在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD．
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝ ，∠ABP＝ （用含α的代数式表示）
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．
【答案】（1）180°-2α，α；（2）见解析；（3）或
【解题思路分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接BD．证明∠PBC=∠CDE=α，可得结论．
（3）分两种情形：如图3-1中，设BP交AC于J．图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得GM=PB，求出PB，可得结论．
【解析】解：（1）如图1中，
∵CE=CD，
∴∠D=∠E=α，
∴∠ECD=180°-2α，
∴∠ECB=∠E+∠D=2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠D=α，
∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=α，
故答案为：180°-2α，α．
（2）证明：如图2中，连接BD．
∵CB=CD，PB=PD，
∴∠CBD=∠CDB，∠PBD=∠PDB，
∴∠PBC=∠PDC=α，
∵∠ABC=2α，
∴∠ABP=∠PBC=α，
∴PB平分∠ABC．
（3）如图3-1中，设BP交AC于J．
∵BP⊥PD，BP=PD，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∵CB=CD，PB=PD，
∴PG垂直平分线段BD，
∴BG=DG，
∵PM=MD，
∴GM=PB，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD=180°-60°=120°，△ACB是等边三角形，
∵CE=CD，
∴∠CDE=30°，
∴∠PBC=∠PDC=30°，
∴∠BJC=90°，
∴CJ=BC=，BJ=CJ=，
∵∠CPD=∠CPJ=45°，
∴PJ=JC=，
∴PB=BJ+PJ=+2，
∴GM=；
如图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，同法可证GM=PB．
∵∠PBC=30°，∠GPB=∠PBC+∠PCB=45°，
∴∠PCB=∠PCD=15°，
∴∠KCE=120°-15°-15°=90°，
∵∠E=30°，CE=CB=，
∴CK=，
∴BK=BC-CK=，
∴PB===1，
∴GM=PB=，
综上所述，GM的长为或．
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