专题09 与线段长度有关的最值问题的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴有个公共点；
（2）如图，若该函数与轴的一交点是原点，求另一交点的坐标及顶点的坐标；
（3）在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2021·西安铁一中教育集团九年级月考）（1）如图1，已知直线l外有一点P，连接点P和l上任一点A．请画出点A在何处时，PA长度最小（画示意图）；
（2）如图2，已知矩形ABCD，延长DC并截取CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接BE，点P是BE上任一点，过P作PQ∥BC交CE于点Q、交AE于点O，求证：OP＝OQ；
（3）如图3，已知等腰△ABC中，AB＝BC，AC＝3，AC边上的高为，点P是边AB上任一点，过点P作△ABC的内接矩形PQMN，使得边QM在AC上，另一个顶点N在BC边上，连接PM，则PM是否存在最小值，若存在，求出PM的最小值；若不存在，请说明理由．
3．（2021·沈阳市光明中学九年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A→B→C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动．当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
（2）是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为cm？若存在，直接写出运动所需的时间为 ；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出PQ长度的最小值 ．
4．（2021·江苏南通田家炳中学九年级月考）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长；
（2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；
（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标．
5．（2021·福建省福州屏东中学九年级月考）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC = 2OA = 2．
（1）求抛物线解析式；
（2）是否存在点P，使∠ABP = ∠ACO，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P的横坐标为，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
7．（2021·重庆一中九年级期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，EA＝ED．
（1）如图1，当点A、C、D在同一直线上时，且AC＝CD＝2，连接CE、BE、BD，求线段BE的长；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一直线上时，连接CD、BD，F为CD的中点，连接EF，求证：EF＝BD；
（3）在（2）的条件下，若AD＝6，M为AD边上一动点，如图3，连接EM，将△AEM沿EM所在直线翻折，点A的对应点为A'，H为AE边上一点，且HE＝2，连接A'H、A'D，请直接写出当3HA'+A'D取最小值时，△AEA'的面积．
8．问题提出：
（1）如图①，利用尺规作劣弧上距离弦最远的点；
问题探究：
（2）如图②，在中，，，，点为内一点，若的面积为6，连接，求的最小值；
问题解决：
（3）如图③，某地有一块四边形的鱼塘，其中，，，为了方便钓鱼爱好者，以为边向鱼塘内搭建一个如图所示的三角形钓鱼台，再过点向鱼塘边搭建一个通道，为了节约成本，要求，且最短，试求通道的最小值（通道的寬度忽略不计）．
9．在中，，，将绕点顺时针方向旋转角至的位置．
问题探究：
（1）如图，当旋转角为60°时，连接与交于点，则______，______；
（2）如图，在（1）条件下，连接，延长交于点，求的长；
问题解决：
（3）如图，在旋转的过程中，连线、，所在直线交于点，那么的长有没有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，请说明理由．
10．（2021·昆明市第一中学西山学校九年级月考）如图，是⊙O的直径，点、是⊙O上的点，且，分别与、相交于点、．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若⊙O的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
11．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知抛物线的图象如图1.，直线，点B为抛物线上的任意一点且满足点B到点A的距离与点B到直线l的距离始终相等．
（1）直接写出：a的值______；
（2）若直线交抛物线于D、E两点（D在E的右边），交x轴于点F，过点E作于点M，过点D作于N，点H为的中点，若点H到直线的距离为，求m的值；
（3）如图，将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点P为直线下方抛物线上一点，点Q为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
12．（2021·沈阳实验中学九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，直线交于点D，交于点E，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点B停止，设的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）求点D和点E的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围（当三角形不存在时，默认面积为0）；
（3）当点P在边上运动，且的值最小时，直接写出运动时间t的值．
13．（2021·重庆实验外国语学校九年级三模）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点，
（1）如图1，若，，，求；
图1
（2）如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
图2
（3）如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值．
图3
14．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021·福建思明·厦门一中九年级三模）如图1，⊙O的弦，为所对优弧上一动点且，的外角平分线交⊙O于点，直线与直线交于点．
（1）求证：点为的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和的长；
（3）若不是锐角三角形，则的最大值为 ．