专题11 实验操作类的常见压轴题-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练1

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操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．
（2）若，则线段AP的长为 ．
2．（2021·黑龙江建华·九年级二模）综合与实践
动手实践：一次数学兴趣活动，张老师将等腰的直角顶点与正方形的顶点重合（），按如图（1）所示重叠在一起，使点在边上，连接．
则可证：______，______三点共线；
发现问题：（1）如图（2），已知正方形，为边上一动点，，交的延长线于，连结交于点．
若，则______，______；
尝试探究：（2）如图（3），在（1）的条件下若，求证：；
拓展延伸：（3）如图（4），在（1）的条件下，当______时，为的6倍（直接写结果，不要求证明）．
3．（2021·河南三门峡·九年级二模）如图，点是以为直径的半圆上一点，连接，点是上一个动点，连接，作交于点，交半圆于点．已知：，设的长度为，的长度为，的长度为（当点与点重合时，，，当点与点重合时，，）．
小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量变化而变化的规律进行了探究．
下面是小锐同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值，请补全表格：
上表中______．（精确到0.1）
（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象（已经画出）；
（3）结合函数图象解决问题：
①当，的长都大于时，长度的取值范围约是______；（精确到0.1）
②继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，判断点，，能否在以为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）
4．（2021·江苏盐都·九年级三模）（选一选，填一填）
（1）⊙O的直径为20，圆上两点M、N距离为16，⊙O上一动点A到直线MN距离的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
（2）等腰△ABC中，顶角∠ABC=45°，AM⊥BC，BN⊥AC，AM与BN交于点P，则的值为 ．
（画一画，算一算）
（3）如图是某百姓休闲广场的部分平面示意图，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=120°，CD长60米，BC长80米， 点E在CD边上，且CE长40米．根据规划，要在直角梯形ABCD内确定一点F，AF长25米，同时建造展示区△FDE和休闲区△FBC．已知展示区造价每平方米200元，休闲区造价每平方米100元，建造好展示区和休闲区最少需要多少元？
5．（2021·广东南山·九年级期末）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；
②推断的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．
6．（2021·浙江宁波·九年级三模）综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点为正方形的边上的一个动点，，将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为．
思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，如图2．
①点在以点为圆心，_________的长为半径的圆上；
②_________；
③为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当时，正方形沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形内部或边上．
①面积的最大值为____________；
②连接，点为的中点，点在上，连接，则的最小值为____________．
7．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；
（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，求的值．
8．（2021·山东邹城·九年级二模）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE＝ °；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝ °；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ．
9．（2020·天津津南·九年级学业考试）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点E，F分别在边，上．沿着折叠该纸片，使得点A落在边上，对应点为，如图①．再沿折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．
（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与相交于点P，展开矩形纸片，如图③．
①求的大小；
②点M，N分别为，上的动点，当取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．
10．（操作发现）如图1，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，．
（1）请求出的度数？
（2）与相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.
（3）直接写出_________度；
（4）若，，求线段的长度.
11．综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，．
解决问题
（1）勤奋小组将和按图1所示的方式摆放(点在同一条直线上) ，连接．发现，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；
拓展延伸
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将沿方向平移得到连接，当恰好是以为斜边的直角三角形时，求的值．请你直接写出的值．
12．（2020·山西九年级一模）综合与实践：
动手操作：如图1，四边形是一张矩形纸片，，点分别在边上，且，连接，将分别沿折叠，点分别落在点处．
探究展示：（1）“刻苦小组”发现：，且，并展示了如下的证明过程．
证明：在矩形中，，，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴（依据1）
∴，
∴（依据2）
反思交流：①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么？
②“勤奋小组”认为：还可以通过证明四边形是平行四边形获证，请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程．
猜想证明：（2）如图2，折叠过程中，当点在直线的同侧时，延长交于点，延长交于点中，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
联想拓广：（3）如图3，连接，
①当时，的长为_____________________；
②的长有最小值吗？若有，请你直接写出的最小值；若没有，请说明理由．
13．（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=54°，则∠DBE的度数为 °．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．（画一画）如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段MN描清楚）；
（3）（算一算）如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=，求B'D的长；
（4）（验一验）如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A'，B'处，小明认为B'I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．
14．（2020·湖北黄石·九年级模拟预测）折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
（综合与实践）
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；
（问题解决）
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）AP：BP＝ ；
（拓展探究）
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．
15．（2020·寿宁县鳌阳中学九年级月考）问题情境
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE．
操作发现
（1）如图1，设∠PAB=25°则∠ADF= °．
（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为 ．
（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：
拓展应用
（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长．cm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
cm
8.00
5.81
4.38
3.35
2.55
1.85
1.21
0.60
0.00
cm
0.00
0.90
2.24
2.67
2.89
2.83
2.34
0.00