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精品解析：山东省德州市庆云县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（解析版）
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这是一份精品解析：山东省德州市庆云县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共28页。
九年级数学试题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C. 正十边形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【详解】解：A．圆属于中心对称图形，不合题意；
B．菱形属于中心对称图形，不合题意；
C．正十边形属于中心对称图形，不合题意；
D．等边三角形不属于中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “买一张电影票，座号是5的倍数”是必然事件
B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C. “明天降雨的概率为”，意味着明天一定有半天都在降雨
D. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义、抽样调查和全面调查、概率的计算以及方差的意义对每一项进行分析即可得出结果．
【详解】解：、“买一张电影票，座号是5的倍数”是随机事件，故本选项不正确；
、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查，故本选项不正确；
、“明天降雨的概率为”，意味着明天有可能下雨，故本选项不正确；
、一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题主要考查了方差、随机事件的定义，以及概率的计算，可能性等于所求情况数与总情况数之比，比较简单．
3. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
4. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，
当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
5. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.
【详解】解：∵AC是⊙的切线
∴∠CAB=,
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案为C.
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
6. 一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数图象可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大致位置即可．
【详解】解：由一次函数和反比例函数图象可得，，
可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出∠DEC的度数，再根据特殊角三角函数值求值即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故选：B
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求出角度，熟记特殊角三角函数值．
8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了45次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）．
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为x（x-1），根据一共握了45次手列出方程求解．
【详解】设参加会议有人，依题意得：，
整理得：，
解得，（舍去），
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为x（x-1）．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A. 10 B. 24 C. 48 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．
【详解】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
11. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据，，）
A. 65.8米 B. 71.8米 C. 73.8米 D. 119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比），米，
∴设，则．
在中，
∵，即，解得，
∴米，米，
∴米，米．
∵，，，
∴四边形EGBM是矩形，
∴米，米．
在中，
∵，
∴米，
∴米．
故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有（ ）
A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】将二次函数配方成即可判断①③；将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②；将m＝1代入函数解析式即可求算A，C坐标，作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值．
【详解】解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为：
∴顶点坐标为，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①正确；
根据“上加下减，左加右减”将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： ，③正确；
二次函数的对称轴是直线，故P（2，y3）可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误；
当m=1时，函数解析式为：，故，，
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确；
故答案选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是___．
【答案】k≤4
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，
∴△=16﹣4k≥0，解得：k≤4.
14. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：列表得：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表知共有36种等可能结果，其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的有3种结果，
所以第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15. 若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3按照从小到大的顺序排列是_________
【答案】y3＜y1＜y2．
【解析】
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣＝4；当x＝﹣2时，y2＝﹣＝6；当x＝1时，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是求出对应函数值，直接比较大小．
16. 如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定制，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD最大值为．
【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值，
又∵OC2+CD2=OD2,
∴当OC最小的时，CD最大，
当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，
CD=AB=.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【解析】
【分析】①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝CD得DE是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；
②证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可判断结论的正误；③证明∠ABD＝∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；④先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．
【详解】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∴，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
即．
∴BE＝，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝，
故②正确；
③∵△ABD一定是等腰三角形，而△CBE不一定是等腰三角形，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝，
∴，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．
三、解答题
19. 计算：
（1）2sin60°tan30°+cos230°—tan45°．
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
【答案】（1），（2），．
【解析】
【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再计算即可；
（2）设2x﹣3=y，用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）2sin60°tan30°+cos230°—tan45°，
=，
=，
=；
（2）设2x﹣3=y，
原方程转化为：y2﹣2y﹣3＝0，
，
或，
解得，，；
即或，
解得，．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和解一元二次方程，解题关键是熟记特殊角三角函数值，会用换元法解一元二次方程．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90度的△A2B2C2；
（3）在x轴上找到一点P，使PA+PB的和最小值，求出P点坐标及最小值．
【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析，（3）作图见解析，，（﹣，0）．
【解析】
【分析】（1）分别作出△ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出△ABC三顶点绕点O逆时针旋转90度的点，再顺次连接即可；
（3）作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′ 交x轴于点P，点P即为所求，再用勾股定理和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）如图，作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P即为所求．
PA+PB的最小值＝BA′＝＝．
∵A′（﹣2，2），B（﹣4，﹣1），
∴设直线BA′的解析式为，
代入得，，
解得，，
直线BA′的解析式为y＝x+5 ，
令y＝0，x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1），自变量取值范围是0≤x≤8；（ x>8）；（2）有效，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式并确定自变量求值范围即可；
（2）把y＝3时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案．
【详解】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x，
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1＝，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为，自变量取值范围是0≤x≤8；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝，
代入（8，6）得
6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（ x>8），
（2）把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12>10，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．
【答案】（1）直线AF是⊙O切线，见解析；（2）AE＝16.
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF＝∠EAC，再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线；
（2）等腰三角形ACE中，两腰AC=CE=10，且已知底角正切值，过点C作CM⊥AE，底边长AE可以求出来．
【详解】解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵CF＝CD，
∴根据全等三角形的判定（HL）可知△ADC与△AFC是全等三角形，
∴根据全等三角形的性质可得∠CAF＝∠EAC，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE＝，
∴，
∵AC＝10，
∴设CM＝3x，则AM＝4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AM＝8，
∵AC＝CE，
∴AE＝2AM＝2×8＝16．
【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，切线的判定与性质及全等三角形的判定和性质，解题关键在于作辅助线.
23. “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
【答案】（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）10元；（3）3000元．
【解析】
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出答案．
【详解】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算．
24. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形 P′Q′M′N′ ，使Q′,M′在BC边上， N′在△ABC 内，连结B N′ 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2 中的四边形 PQMN 是正方形．
(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)．当tan∠NBM= 时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】（1）温故：；（3）推理：四边形PQMN正方形.见解析；（4）拓展：猜想，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据，列比例式求解即可；
（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明,,从而，可证四边形PQMN为正方形；
（4）可设MN=3k，.则，，.根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而.通过证明，可得.
【详解】（1）温故：．
.
即.
解得.
（2）推理：由画法可得.
四边形PQMN为矩形，.
，
同理可得.
.
，.
四边形PQMN为正方形.
（3）拓展：猜想，理由如下：
由可设MN=3k，.
则，，.
，，
.
，
，
.
，
.
，
.
.
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角相等的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；④三边对应成比例的两个三角形相似.
25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3），，，
【解析】
【分析】（1）把A，B代入解析式求解即可；
（2）根据已知条件分∠QCB=90°或∠QBC=90°，再利用勾股定理列出方程，即可求解；
（3）设点，则，根据以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形分类计算即可；
【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴；
（2）由（1）知B（3，0），，
连接BC，
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
则或，
∵Q在对称轴上，设，
则，
，
，
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
综上所述，或；
（3）设点，则，
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即，
当，解得；
当，解得；
∴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数动点问题，根据直角三角形和正方形的几何特征，列出相关的方程，是解题的关键，特别要注意分类讨论思想在解题中的应用.
九年级数学试题
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆 B. 菱形 C. 正十边形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【详解】解：A．圆属于中心对称图形，不合题意；
B．菱形属于中心对称图形，不合题意；
C．正十边形属于中心对称图形，不合题意；
D．等边三角形不属于中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “买一张电影票，座号是5的倍数”是必然事件
B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C. “明天降雨的概率为”，意味着明天一定有半天都在降雨
D. 一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义、抽样调查和全面调查、概率的计算以及方差的意义对每一项进行分析即可得出结果．
【详解】解：、“买一张电影票，座号是5的倍数”是随机事件，故本选项不正确；
、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查，故本选项不正确；
、“明天降雨的概率为”，意味着明天有可能下雨，故本选项不正确；
、一组数据的方差越小，则这组数据的波动也越小，故本选项正确；
故选：．
【点睛】本题主要考查了方差、随机事件的定义，以及概率的计算，可能性等于所求情况数与总情况数之比，比较简单．
3. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
4. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，
当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
5. 如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连结OD．若，则∠AOD的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由AC是⊙的切线可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，则∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD计算即可.
【详解】解：∵AC是⊙的切线
∴∠CAB=,
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案为C.
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
6. 一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数图象可以确定a、b、c的正负，再根据它们确定抛物线的大致位置即可．
【详解】解：由一次函数和反比例函数图象可得，，
可知抛物线开口向下，对称轴直线，在y轴右侧，抛物线与y轴交点在负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出∠DEC的度数，再根据特殊角三角函数值求值即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故选：B
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求出角度，熟记特殊角三角函数值．
8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了45次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）．
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为x（x-1），根据一共握了45次手列出方程求解．
【详解】设参加会议有人，依题意得：，
整理得：，
解得，（舍去），
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为x（x-1）．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A. 10 B. 24 C. 48 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．
【详解】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；
当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝2时有最大面积为4，
当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，
当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
11. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据，，）
A. 65.8米 B. 71.8米 C. 73.8米 D. 119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比），米，
∴设，则．
在中，
∵，即，解得，
∴米，米，
∴米，米．
∵，，，
∴四边形EGBM是矩形，
∴米，米．
在中，
∵，
∴米，
∴米．
故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断有（ ）
A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③
【答案】C
【解析】
【分析】将二次函数配方成即可判断①③；将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②；将m＝1代入函数解析式即可求算A，C坐标，作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值．
【详解】解：将y＝－x2＋2x＋m＋1化为顶点式为：
∴顶点坐标为，函数图形与直线y＝m＋2相切，只有一个公共点，①正确；
根据“上加下减，左加右减”将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到： ，③正确；
二次函数的对称轴是直线，故P（2，y3）可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误；
当m=1时，函数解析式为：，故，，
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则 连接MN，则MN为BE，DE，CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确；
故答案选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是___．
【答案】k≤4
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，
∴△=16﹣4k≥0，解得：k≤4.
14. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：列表得：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表知共有36种等可能结果，其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的有3种结果，
所以第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15. 若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3按照从小到大的顺序排列是_________
【答案】y3＜y1＜y2．
【解析】
【分析】分别计算出自变量为﹣3、﹣2和1对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣＝4；当x＝﹣2时，y2＝﹣＝6；当x＝1时，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是求出对应函数值，直接比较大小．
16. 如图，四边形ABCD是矩形，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与的面积之差的和，本题得以解决．
【详解】解：连接AE，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定制，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD最大值为．
【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值，
又∵OC2+CD2=OD2,
∴当OC最小的时，CD最大，
当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，
CD=AB=.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【解析】
【分析】①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝CD得DE是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；
②证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可判断结论的正误；③证明∠ABD＝∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；④先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．
【详解】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∴，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
即．
∴BE＝，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝，
故②正确；
③∵△ABD一定是等腰三角形，而△CBE不一定是等腰三角形，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝，
∴，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．
三、解答题
19. 计算：
（1）2sin60°tan30°+cos230°—tan45°．
（2）（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）﹣3＝0．
【答案】（1），（2），．
【解析】
【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再计算即可；
（2）设2x﹣3=y，用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）2sin60°tan30°+cos230°—tan45°，
=，
=，
=；
（2）设2x﹣3=y，
原方程转化为：y2﹣2y﹣3＝0，
，
或，
解得，，；
即或，
解得，．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和解一元二次方程，解题关键是熟记特殊角三角函数值，会用换元法解一元二次方程．
20. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别是A（﹣2，﹣2）、B（﹣4，﹣1）、C（﹣4，﹣4）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90度的△A2B2C2；
（3）在x轴上找到一点P，使PA+PB的和最小值，求出P点坐标及最小值．
【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析，（3）作图见解析，，（﹣，0）．
【解析】
【分析】（1）分别作出△ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
（2）分别作出△ABC三顶点绕点O逆时针旋转90度的点，再顺次连接即可；
（3）作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′ 交x轴于点P，点P即为所求，再用勾股定理和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）如图，作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，点P即为所求．
PA+PB的最小值＝BA′＝＝．
∵A′（﹣2，2），B（﹣4，﹣1），
∴设直线BA′的解析式为，
代入得，，
解得，，
直线BA′的解析式为y＝x+5 ，
令y＝0，x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1），自变量取值范围是0≤x≤8；（ x>8）；（2）有效，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式并确定自变量求值范围即可；
（2）把y＝3时分别代入两个解析式，求出自变量的值，再判断即可求出答案．
【详解】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x，
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1＝，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为，自变量取值范围是0≤x≤8；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝，
代入（8，6）得
6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为：（ x>8），
（2）把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12>10，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．
【答案】（1）直线AF是⊙O切线，见解析；（2）AE＝16.
【解析】
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF＝∠EAC，再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线；
（2）等腰三角形ACE中，两腰AC=CE=10，且已知底角正切值，过点C作CM⊥AE，底边长AE可以求出来．
【详解】解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵CF＝CD，
∴根据全等三角形的判定（HL）可知△ADC与△AFC是全等三角形，
∴根据全等三角形的性质可得∠CAF＝∠EAC，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE＝，
∴，
∵AC＝10，
∴设CM＝3x，则AM＝4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AM＝8，
∵AC＝CE，
∴AE＝2AM＝2×8＝16．
【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，切线的判定与性质及全等三角形的判定和性质，解题关键在于作辅助线.
23. “新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
（3）疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
【答案】（1）普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）10元；（3）3000元．
【解析】
【分析】（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，根据每天的利润＝每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出答案．
【详解】解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，
依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，
整理，得：m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴12﹣m＝10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
（3）由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9﹣3000×20＝3000（元）．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系列式计算．
24. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC 于点D，正方形PQMN 的边QM在BC上，顶点P ，N 分别在AB， AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形 PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形 P′Q′M′N′ ，使Q′,M′在BC边上， N′在△ABC 内，连结B N′ 并延长交AC 于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM 交AB于点P，PQ⊥BC 于点Q，得到四边形 PQMN．小波把线段BN 称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2 中的四边形 PQMN 是正方形．
(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N 上截取NE=NM ，连结EQ ，EM(如图 3)．当tan∠NBM= 时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】（1）温故：；（3）推理：四边形PQMN正方形.见解析；（4）拓展：猜想，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据，列比例式求解即可；
（3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明,,从而，可证四边形PQMN为正方形；
（4）可设MN=3k，.则，，.根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而.通过证明，可得.
【详解】（1）温故：．
.
即.
解得.
（2）推理：由画法可得.
四边形PQMN为矩形，.
，
同理可得.
.
，.
四边形PQMN为正方形.
（3）拓展：猜想，理由如下：
由可设MN=3k，.
则，，.
，，
.
，
，
.
，
.
，
.
.
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角相等的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；④三边对应成比例的两个三角形相似.
25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；
（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3），，，
【解析】
【分析】（1）把A，B代入解析式求解即可；
（2）根据已知条件分∠QCB=90°或∠QBC=90°，再利用勾股定理列出方程，即可求解；
（3）设点，则，根据以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形分类计算即可；
【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴；
（2）由（1）知B（3，0），，
连接BC，
∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，
则或，
∵Q在对称轴上，设，
则，
，
，
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
当时，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴；
综上所述，或；
（3）设点，则，
∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，
∴FM=MG，即，
当，解得；
当，解得；
∴，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数动点问题，根据直角三角形和正方形的几何特征，列出相关的方程，是解题的关键，特别要注意分类讨论思想在解题中的应用.
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