高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测02《命题及其关系、充分条件与必要条件》(教师版)

课时达标检测（二）  命题及其关系、充分条件与必要条件

[小题对点练——点点落实]

对点练(一)　命题及其关系

1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

解析：选C　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

2．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D　原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．

3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　)

A．都真 B．都假

C．否命题真 D．逆否命题真

解析：选D　对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.

4．下列命题中为真命题的序号是________．

①若x≠0，则x＋≥2；

②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；

③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；

④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．

解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．

答案：②④

5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：____________.

解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

对点练(二)　充分条件与必要条件

1．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.

2．一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　)

A．m>1，且n<1 B．mn<0

C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0

解析：选B　因为y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.

3．设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A　log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.

4．定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′，∴f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.

5．命题“∀x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．a≥4 B．a>4

C．a≥1 D．a>1

解析：选B　x2－a≤0⇔a≥x2.因为x2∈[1,4)，所以a≥4.故a>4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.

6．已知命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”，且綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，则实数m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(0,1)

解析：选B　命题p：“方程x2－4x＋a＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴綈p为真命题时，a>4.又∵綈p为真命题的充分不必要条件为a>3m＋1，∴(3m＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m＋1>4，解得m>1，故选B.

7．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1；由x2－(2a＋1)·x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．

∴[a，a＋1]．∴a≤.且a＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤.

∴实数a的取值范围是.

答案：

[大题综合练——迁移贯通]

1．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．

(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．

(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．

2．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解：y＝x2－x＋1＝2＋，

∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，

故实数m的取值范围是∪.

3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，

B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题意，

则解得≤a≤2.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题意，

则无解．

综上，a的取值范围为.

(2)要满足A∩B＝∅，

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，

则a≥4或3a≤2，即0<a≤或a≥4.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，

则a≤2或a≥，即a<0.

当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.

综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)．