高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测03《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(教师版)

课时达标检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

对点练(一)　简单的逻辑联结词

1．已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是(　　)

A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题

C．￢p是真命题 D．p是假命题

解析：选A　对于命题p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p为真命题；对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．故选A.

2．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，命题p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(￢p1)∨p2和q4：p1∧(￢p2)中，真命题是(　　)

A．q1，q3 B．q2，q3 

C．q1，q4 D．q2，q4

解析：选C　因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，￢p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(￢p2)是真命题，故选C.

3．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0<a<1或a>2} B．{a|0<a<1或a≥2}

C．{a|1<a≤2} D．{a|1≤a≤2}

解析：选C　∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴当p真q假时，

解得1<a≤2；当p假q真时，解得a∈∅.综上，1<a≤2.故选C.

4．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．

解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．

由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．

答案：[e,4]

5．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．

解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，

因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0，因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，

所以命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得0≤m<；

当命题p为假，命题q为真时，此时m不存在，故实数m的取值范围是.

答案：

对点练(二)　全称量词与存在量词

1．命题“对任意x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定为(　　)

A．对任意x∈R，都有x2－2x＋4≥0

B．对任意x∈R，都有x2－2x＋4>0

C．存在x0∈R，使得x－2x0＋4>0

D．存在x0∈R，使得x－2x0＋4≤0

解析：选C　原命题的否定为：存在x0∈R，使得x－2x0＋4>0.故选C.

2．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－2”的否定是(　　)

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－2

B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－2

C．∃x0∈(0，＋∞)，使得ln x0≠x0－2

D．∃x0∉(0，＋∞)，使得ln x0＝x0－2

解析：选A　原命题的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－2”．故选A.

3．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则(　　)

A．p假q真 B．p真q假

C．p假q假 D．p真q真

解析：选A　∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，选A.

4．命题“∃x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，都有f(x)＝x

B．不存在x0∈R，使f(x0)≠x0

C．∀x∈R，都有f(x)≠x

D．∃x0∈R，使f(x0)≠x0

解析：选C　命题“∃x0∈R，使得f(x0)＝x0”的否定只需把“∃”改为“∀”，并把结论加以否定，即∀x∈R，都有f(x)≠x.故选C.

5．下列命题中，真命题是(　　)

A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝

B．任意x∈(0，π)，sin x>cos x

C．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>x

D．存在x0∈R，x＋x0＝－1

解析：选C　对于A选项：任意x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：

存在x0＝，sin x0＝，cos x0＝，sin x0<cos x0，故B为假命题；

对于C选项：x2＋1－x＝2＋>0恒成立，C为真命题；

对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．

6．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x＋1.则关于f(x)，g(x)的语句为假命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)>g(x)

B．∃x1，x2∈R，f(x1)<g(x2)

C．∃x0∈R，f(x0)＝g(x0)

D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f(x0)－g(x0)≤f(x)－g(x)

解析：选A　依题意，记F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex－1.当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，F(x)＝f(x)－g(x)有最小值F(0)＝0，即f(x)≥g(x)，当且仅当x＝0时取等号，

因此选项A是假命题，选项D是真命题；对于选项B，注意到f(0)＝1<g(1)＝2，

因此选项B是真命题；对于选项C，注意到f(0)＝1＝g(0)，因此选项C是真命题．

综上所述，选A.

7．若命题p：存在x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．

解析：若命题p：存在x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则￢p：任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即(2＋a)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，当a＝－2时不成立，舍去，则有解得a≥2.

答案：[2，＋∞)

[大题综合练——迁移贯通]

1．给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

解：当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或

∴0≤a<4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”

⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.

∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假．

∴若p真q假，则0≤a<4，且a>，∴<a<4；

若p假q真，则即a<0.

故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.

2．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1.

若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．

∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，∴<a<.

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，

∴∴<a≤1.

故实数a的取值范围为.

3．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，

即p为真命题时，a＜x＜3a，

由得

即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.

(1)a＝1时，p：1<x<3.

由p∧q为真，知p，q均为真命题，则

得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．

(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，

由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，

有∴1＜a≤2，

所以实数a的取值范围为(1,2]．