高考数学(理数)一轮精品复习：第2章《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》讲与练(90页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第2章《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》讲与练(90页学生版)，共89页。试卷主要包含了函数的定义域；　2，函数的有关概念，5D．10等内容，欢迎下载使用。
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
本节主要包括3个知识点：　
1.函数的定义域；　2.函数的表示方法；　3.分段函数.

突破点(一)　函数的定义域　


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个
非空的数集
设A，B是两个
非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

1．判断题
(1)函数是特殊的映射．(　　)
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)
(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)
2．填空题
(1)下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；
③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．
其中是A到B的映射的是________．
(2)函数y＝＋ln(x－2)的定义域为________．
(3)下列f(x)与g(x)表示同一函数的是________．
①f(x)＝与g(x)＝·；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③y＝x与y＝()2；
④f(x)＝与g(x)＝.





求给定解析式的函数的定义域

常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

5．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．

[大题综合练——迁移贯通]
1．(1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解析式；
(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．










2．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0,1]上有解析式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的解析式．



















第二节 函数的单调性与最值
本节主要包括2个知识点：　1.函数的单调性；2.函数的最值.

突破点(一)　函数的单调性　


1．单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x10，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在(－1,1)上的单调性．








[易错提醒]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．　　


函数单调性的应用

应用(一)　比较函数值或自变量的大小
[例2]　已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)0
应用(二)　解函数不等式
[例3]　f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)

[方法技巧]
含“f ”号不等式的解法

[提醒]　上述g(x)与h(x)的值域应在外层函数f(x)的定义域内．　　

应用(三)　求参数的取值范围
[例4]　(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
[易错提醒]
(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　　

1. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
2.函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　　B.
C．[0，＋∞) D.
3.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(c)>f(b)>f(a)
4.若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
5.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f0，设函数f(x)＝(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝(　　)
A．2 016 B．2 018
C．4 032 D．4 034
2．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
3．若函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(0,2]
C．[2，＋∞) D．(1,2 ]
4．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
5．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
6．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．

[大题综合练——迁移贯通]
1．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．














2．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

















第三节 函数的奇偶性及周期性
本节主要包括3个知识点：　
1.函数的奇偶性；　2.函数的周期性；　3.函数性质的综合问题.

突破点(一)　函数的奇偶性　


1．函数的奇偶性

奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
2.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．

1．判断题
(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(2)若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(3)若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　　)
2．填空题
(1)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
4.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x0)且为偶函数，则f(x)为周期函数，其中一个周期为2a.(　　)
(3)函数f(x)在定义域上关于两相邻对称轴x＝a，x＝b对称，则f(x)是周期函数．(　　)
(4)周期函数一定存在最小正周期．(　　)
2．填空题
(1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.
(3)已知f(x)是R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2 017)＝________.



利用函数的周期性求值

周期函数f(x)满足的条件
周期
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x)
2a
f(x＋a)＝－
2a
f(x＋a)＝
2a
关于直线x＝a与x＝b对称
2|b－a|
关于点(a,0)与点(b,0)对称
2|b－a|
关于直线x＝a与点(b,0)对称
4|b－a|
偶函数，关于直线x＝a对称
2a
奇函数，关于直线x＝a对称
4a
[典例]设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．

[方法技巧]
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　　


1．已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，
定义fn(x)＝，那么f2 018(2)的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f 的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
3．设函数f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x＋1，则f ＝________.
4．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值为________．



突破点(三)　函数性质的综合问题　
1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．
2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．




奇偶性与单调性的综合问题

偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
[例1]　(1)若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(21.5)，则a，b，c满足(　　)
A．a