高考数学(理数)一轮精品复习：第11章《推理与证明、算法、复数》讲与练(41页学生版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第11章《推理与证明、算法、复数》讲与练(41页学生版)，共40页。试卷主要包含了合情推理；　2等内容，欢迎下载使用。
第十一章推理与证明、算法、复数
第一节 合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点：　1.合情推理；　2.演绎推理.

突破点(一)　合情推理　



类型
定义
特点
归纳
推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、
由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊


1．判断题
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
2．填空题
(1)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________.
(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．
(3)观察下列不等式：
①0.








[方法技巧]　　　　　综合法证题的思路


分析法
[例2]　已知a>0，－>1，求证：>.





[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．　　


1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
2.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
3.已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.





4.已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.









突破点(二)　间接证明


1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真

3．常见的结论和反设词
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
对任意x
成立
存在某个x
不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x
不成立
存在某个x
成立
至少有n个
至多有(n－1)个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有(n＋1)个
p且q
綈p或綈q
都是
不都是
不都是
都是


1．判断题
(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“ab，那么> ”，假设的内容应是________．


(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．
①结论相反的判断即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义；
④原结论．
(3)写出下列命题的否定．
①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；
否定为____________________________________________________________；
②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；
否定为________________________________________________________；
③所有的正方形都是矩形；
否定为________________________________________________________________；
④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
否定为_______________________________________________________________．



证明否定性命题
[例1]　设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
















证明存在性问题
[例2]　若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．








证明“至多”“至少”“唯一”命题
[例3]　已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．













1.用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
2.若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．



用数学归纳法证明等式
[例1]　已知等差数列{an}的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为2，且a1＝b1＝2.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．








[方法技巧]
用数学归纳法证明等式的策略
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．　　


用数学归纳法证明不等式
[例2]　已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)设0a D．a>c>b
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)n D．m1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为(　　)
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全都为正数
C．a，b，c，d全都为非负数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
2．用反证法证明“若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则B B．B＝ C．B≥ D．B≤
3．用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
对点练(三)　数学归纳法
1．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)
A．若f(1)2 017?
(2)如图，给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是(　　)

A．i>100，n＝n＋1 B．i>100，n＝n＋2
C．i>50，n＝n＋2 D．i≤50，n＝n＋2

[方法技巧]
解决程序框图填充问题的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．　　


基本算法语句
[例4]　(1)按照如图程序运行，则输出K的值是________．
　
(2)执行如图所示的程序，输出的结果是________．

[方法技巧]
解决算法语句问题的步骤及解题规律
(1)解决算法语句问题有三个步骤：
首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．
(2)解题时应注意以下规律：
①赋值语句在给出变量赋值时，先计算赋值号右边的式子，然后赋值给赋值号左边的变量；给一个变量多次赋值时，变量的取值只与最后一次赋值有关．
②条件语句必须以IF开始，以END IF 结束，一个IF必须和一个END IF 对应，尤其对条件语句的嵌套问题，应注意每一层结构的完整性，不能漏掉END IF.
③循环语句的格式要正确，要保证有结束循环的语句，不要出现死循环．　　




1.执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)

A．0 B．1
C．2 D．3
2.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为(　　)
A．i>5 B．i≥7
C．i>9 D．i≥9　
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝(　　)

A．4 B．5
C．2 D．3
4.阅读下面的程序．

则程序执行的目的是(　　)
A．求实数x的绝对值
B．求实数x的相反数
C．求一个负数的绝对值
D．求一个负数的相反数

突破点(二)　复数　


1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：

2．复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
3.复数的几何意义
复平面
的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、
虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的
几何表示
复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量
4.复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

1．判断题
(1)方程x2＋1＝0没有解．(　　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．(　　)
(4)已知复数z的共轭复数＝1＋2i，则z的复平面内对应的点位于第三象限．(　　)
(5)复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
2．填空题
(1)(3＋2i)i＝________.
(2)(4－3i)(－5－4i)＝________.
(3)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．
(4)如果(a＋b)＋(b－1)i＝(2a＋3b)＋(2b＋1)i，则实数a＝________，b＝________.
(5)若复数z＝2－i，则＋＝________.
(6)已知i是虚数单位，则复数i13(1＋i)＝________.



复数的有关概念
[例1]　(1)设i是虚数单位，若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
(3)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(4)i为虚数单位，i607的共轭复数为(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
[方法技巧]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　


复数的几何意义
[例2]　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－2＋i D．2＋i

复数的运算
1.复数的加减法
可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
2．复数的乘法
(1)复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把i的幂写成简单的形式；
(2)实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．
3．复数的除法运算
关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；
(2)对分子、分母分别进行乘法运算；
(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．



[例3]　(1)已知z＝(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．－1 B．1
C．i D．－i
(2)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝(　　)
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
(3)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.

[易错提醒]
在乘法运算中要注意i的幂的性质：
(1)区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a，b∈R);
(2)区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)与(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a，b∈R)．　　


1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.若复数z＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan θ的值为(　　)
A. B．－
C. D．－1－i
3.如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
　　　　　　　　
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
4.设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
5.已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.

[全国卷5年真题集中演练——明规律]　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入(　　)
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2

2．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(　　)

A．2 B．3
C．4 D．5
3．执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)

A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝(　　)

A．7 B．12
C．17 D．34
5.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]

6．(1＋i)(2＋i)＝(　　)
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i
7．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1 B. C. D．2
[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　算法与程序框图
1．执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　　)

A．x＞3 B．x＞4
C．x≤4 D．x≤5
2．根据程序框图，当输入x为2 018时，输出的y＝(　　)

A．2 B．4
C．10 D．28
3．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为(　　)

A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3＋x＋2 D．f(x)＝x2
4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为(　　)

A．9 B．18
C．20 D．35
5．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)

A．25 B．30
C．31 D．61
6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为________．

7．执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为________．

8．随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1)，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18，则判断框内应填________．
　　

对点练(二)　复数
1．已知复数z满足(z＋1)(1－i)＝1＋i，则复数z的共轭复数为(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
2．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．i D．1
3．已知i是虚数单位，复数z＝，z与互为共轭复数，则|z|＝(　　)
A．1 B．2
C. D．0
4．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝(　　)
A. B．2
C. D．5
6．计算2 017＋2 017＝(　　)
A．－2i B．0
C．2i D．2
7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
8．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.