高考数学(理数)一轮精品复习：第11章《推理与证明、算法、复数》讲与练(57页教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮精品复习：第11章《推理与证明、算法、复数》讲与练(57页教师版)，共56页。试卷主要包含了合情推理；　2，故选A等内容，欢迎下载使用。
第十一章推理与证明、算法、复数
第一节 合情推理与演绎推理
本节主要包括2个知识点：　1.合情推理；　2.演绎推理.

突破点(一)　合情推理　



类型
定义
特点
归纳
推理
根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、
由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊


1．判断题
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．填空题
(1)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是an＝________.
解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
答案：n2
(2)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．
答案：类比
(3)观察下列不等式：
①0，即f(x2)>f(x1)．(小前提)
所以y＝f(x)为R上的单调递增函数．(结论)

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D　依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
2．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．
答案：1和3
3．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三个去过同一城市．
由此判断乙去过的城市为________．
解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过A，C城市，乙去过的城市应为A.
答案：A

[课时达标检测]
[小题对点练——点点落实]
对点练(一)　合情推理
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于(　　)
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A　(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．121 B．123
C．231 D．211
解析：选B　令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是(　　)

A．n(n＋1) B.
C. D．n(n－1)
解析：选C　由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝.
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为(　　)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B　55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
5．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)
A．3 B．5
C. D．3
解析：选B　类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝，则所求距离d＝＝5，故选B.
6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．
解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.
答案：33
7．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
1　2　3　4　5　…
3　5　7　9　…
8　12　16　…
20　28　…
2 013　2 014　2 015　2 016
4 027　4 029　4 031
8 056　8 060
16 116
……　　　 　
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．
解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.
答案：2 017×22 014
8.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)









对点练(二)　演绎推理
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选B　对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.
2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
解析：选A　若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确　　　　　　　　B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.
4．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.
5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．
解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．
答案：甲、丁、乙、丙
[大题综合练——迁移贯通]
1．给出下面的数表序列：

其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解：表4为
1　3　5　7
4 8　12
12 20
32　
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：＝＋.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．

解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.

证明：如图，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.
∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，
∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.
∴在Rt△ACD中＝＋，
∴＝＋＋.
3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.



第二节 直接证明与间接证明、数学归纳法
本节主要包括3个知识点：　1.直接证明；　2.间接证明；　3.数学归纳法.

突破点(一)　直接证明　




内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
思维
过程
由因导果
执果索因
框图
表示
→
→…→

→→…→
书写
格式
“因为…，所以…”
或“由…，得…”
“要证…，只需证…，
即证…”


1．判断题
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)
(4)证明不等式＋－，由分析法可得，要证－2>－，只需证＋>＋2，即证13＋2>13＋4，即>2.因为42>40，所以－2>－成立．
答案：－2>－
(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．
解析：x2＝(a＋b＋2)，y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)>(a＋b＋2)＝x2，
又∵x>0，y>0，∴y>x.
答案：y>x
(3)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析：∵a>b>0，∴>， >0，
∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2)＝2－2b>2－2b＝0，∴n2>m2，
又∵m>0，n>0，∴n>m.
答案：n>m



综合法
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
[例1]　(2018·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：>0.
[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当01时，f′(x)0.综上可知，>0.
[方法技巧]　　　　　综合法证题的思路




分析法
[例2]　已知a>0，－>1，求证：>.
[证明]　由已知－>1及a>0，可知01，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，
即>1，即－>1.这是已知条件，所以原不等式得证．

[方法技巧]
分析法证题的思路
(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．　　




1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证明法
解析：选B　因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B.
2.(2018·广州调研)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是(　　)
A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2
C.＜ D.＞
解析：选B　a2－ab＝a(a－b)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a(a－b)>0，即a2－ab＞0，
∴a2＞ab.①
又∵ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
3.已知a，b，c为正实数，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以a2＋b2＋c2≥.

4.已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.
证明：因为m>0，所以1＋m>0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证m(a－b)2≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．







突破点(二)　间接证明


1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真

3．常见的结论和反设词
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
对任意x
成立
存在某个x
不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x
不成立
存在某个x
成立
至少有n个
至多有(n－1)个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有(n＋1)个
p且q
綈p或綈q
都是
不都是
不都是
都是


1．判断题
(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“ab，那么> ”，假设的内容应是________．
答案：≤
(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．
①结论相反的判断即假设；
②原命题的条件；
③公理、定理、定义；
④原结论．
答案：①②③
(3)写出下列命题的否定．
①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；
否定为____________________________________________________________；
②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；
否定为________________________________________________________；
③所有的正方形都是矩形；
否定为________________________________________________________________；
④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
否定为_______________________________________________________________．
答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数
②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2
③至少存在一个正方形不是矩形
④不存在实数x，使x2＋1＝0



证明否定性命题
[例1]　设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解]　(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．


证明存在性问题
[例2]　若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．






证明“至多”“至少”“唯一”命题
[例3]　已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
[证明]　假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零实数．
因此，上式“＝”不能同时成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2b与a