还剩22页未读，
继续阅读
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版
展开
这是一份2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷 word，解析版，共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
2．（2分）如图，把一个边长为6的正三角形纸片剪去3个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 ．
3．（2分）已知x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m＝ ．
4．（2分）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
5．（2分）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．
6．（2分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠A＝30°，则∠BCD＝ °．
7．（2分）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示， （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定．
8．（2分）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
9．（2分）据统计，九（1）班40名学生中，有4人a岁，30人b岁，6人c岁（这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁）．这个班级学生的平均年龄更接近 岁（填“a”、“b”或“c”）．
10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若BC＝9，AC＝3，则⊙O的半径等于 ．
11．（2分）一组数据21，22，23，24，25，用符号A表示，记为A＝（21，22，23，24，25），加入一个数据a后，用符号B表示，记为B＝（21，22，23，24，25，a）．
①若a＝22，则A的平均数大于B的平均数；
②若a＝23，则A的方差等于B的方差；
③若a＝24，则A的中位数小于B的中位数．
其中正确的序号是 ．
12．（2分）如图，有一张四边形纸片ABCD，已知AB＝，AD＝2，∠B＝80°，∠C＝∠D＝90°，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+3x+1＝0
14．（3分）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
15．（3分）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，5 D．都无法确定
16．（3分）如图所示3×3的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（3分）如图，半圆O的直径AB＝4，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2π+2 B．2π+4 C．2π﹣4 D．4π﹣8
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）解方程：
（1）（x+2）2＝2x+7；
（2）x+1﹣x（x+1）＝0．
20．（8分）甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表：
甲校选手得分
97
91
80
91
81
乙校选手得分
76
92
94
86
92
（1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；
（2）如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．
21．（8分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+（2k﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
22．（8分）扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有54张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余52张牌代表一年中的52个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有13张牌，表示每个季节有13个星期；如果把J、Q、K分别当作11、12、13点，大王、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是365点，而闰年把大、小王各算为1个点，共366点．扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系．
小云将黑桃1，红桃2、梅花3、方块4这四张牌的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张．用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率．
23．（10分）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
24．（10分）如图，P是⊙O的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
（1）尺规作图：在⊙O上作出一点D，使得∠APC＝∠BPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证∠CPD＝∠COD．
25．（10分）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x1＝﹣＝﹣1
2x2﹣7x+3＝0
x1＝＝3
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2＝
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1＝，x2＝﹣
…
…
…
…
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
26．（14分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）求证：PB与⊙Q相切；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求n的值及PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是 ．（直接写出答案）
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
2．（2分）如图，把一个边长为6的正三角形纸片剪去3个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 2 ．
【分析】根据正六边形的定义可得EF＝FG＝GH，根据等边三角形的定义可知EF＝BF，HG＝GC，所以得出BF＝FG＝GC，可得出FG的长度，从而求得答案．
【解答】解：∵六边形DEFGHI为正六边形，
∴EF＝FG＝GH，
∵△BEF和△CGH为正三角形，
∴BF＝EF＝FG＝HG＝GC，
∴BC＝3FG，
∴FG＝2，
即剪去的每个小三角形的边长等于2．
故答案为：2．
3．（2分）已知x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m＝ 3 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2+2x﹣2m＝0的一个根，
∴22+2﹣2m＝0，
解得，m＝3．
故答案是：3．
4．（2分）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 2 ．
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
【解答】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1﹣2＝2．
故答案为：2．
5．（2分）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．
【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．
故答案为：．
6．（2分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠A＝30°，则∠BCD＝ 60 °．
【分析】连接BD，由BC为直径可得∠BDC＝90°，再由∠B＝∠A＝30°，即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：连接BD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60．
7．（2分）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示， 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定．
【分析】根据成绩图可以得到甲、乙8次打靶的成绩，再根据方差公式s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]代入样本数据计算即可．
【解答】解：甲的平均数＝（10+7+7+8+8+8+9+7）÷8＝6.4，甲的方差S甲2＝[（6.4﹣10）2+3×（6.4﹣7）2+3×（6.4﹣8）2+（6.4﹣9）2]÷8＝3.56；
乙的平均数＝（10+5+5+8+9+9+8+10）÷8＝6.4，乙的方差S乙2＝[2×（6.4﹣10）2+2×（6.4﹣8）2+2×（6.4﹣9）2+2×（6.4﹣5）2]÷8＝6.06；
∴S甲2＜S乙2，
∴甲比乙稳定．
故答案为：甲．
8．（2分）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 a（1﹣x）n＝b ．
【分析】利用经过n次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：a（1﹣x）n＝b．
故答案为：a（1﹣x）n＝b．
9．（2分）据统计，九（1）班40名学生中，有4人a岁，30人b岁，6人c岁（这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁）．这个班级学生的平均年龄更接近 b 岁（填“a”、“b”或“c”）．
【分析】根据平均数的计算公式即可求出．
【解答】解：这个班40名同学的平均年龄是（岁）．
∵这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁，
∴这个班级学生的平均年龄更接近b岁，
故答案为：b．
10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若BC＝9，AC＝3，则⊙O的半径等于 4 ．
【分析】连接OA，根据AC是⊙O的切线，得到∠OAC＝90°，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵BC＝9，
∴OC＝9﹣OA，
∵OA2+AC2＝OC2，
∴OA2+32＝（9﹣OA）2，
∴OA＝4，
故答案为：4．
11．（2分）一组数据21，22，23，24，25，用符号A表示，记为A＝（21，22，23，24，25），加入一个数据a后，用符号B表示，记为B＝（21，22，23，24，25，a）．
①若a＝22，则A的平均数大于B的平均数；
②若a＝23，则A的方差等于B的方差；
③若a＝24，则A的中位数小于B的中位数．
其中正确的序号是 ①③ ．
【分析】根据方差、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：①若a＝22，则A的平均数为＝23，
B的平均数＝，
∴A的平均数大于B的平均数，正确；
②若a＝23，则A的平均数为＝23，
A的方差：×[（23﹣21）2+（23﹣22）2+（23﹣23）2+（23﹣24）2+（23﹣25）2]＝2，
B的平均数＝23，
B的方差：×[（23﹣21）2+（23﹣22）2+（23﹣23）2+（23﹣24）2+（23﹣25）2+（23﹣23）2]＝，
∴A的方差不等于B的方差，错误；
③若a＝24，则A的中位数为23，
B的中位数＝23.5．
∴A的中位数小于B的中位数，正确．
故答案为：①③．
12．（2分）如图，有一张四边形纸片ABCD，已知AB＝，AD＝2，∠B＝80°，∠C＝∠D＝90°，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 π或π ．
【分析】分别求出两种扇形的圆心角，半径，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：小明的最大的扇形ATE，如图所示：
∵AB＝AE＝2，AD＝2，∠D＝90°，
∴DE＝＝＝2，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝45°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠DAB＝100°，
∴∠BAE＝55°，
∵AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝80°，
∴∠BAT＝180°﹣160°＝20°，
∴∠EAT＝55°﹣20°＝35°，
∴的长＝＝ππ．
小丽的扇形的圆心角为100°，半径为2，
∴扇形的弧长＝＝π，
故答案为：π或π．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+3x+1＝0
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【解答】解：A．此选项方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
C．此选项方程根的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
14．（3分）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
15．（3分）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，5 D．都无法确定
【分析】先根据数据的总个数得出a+b＝3，再利用众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵一共抽取10名同学，
∴a+b＝10﹣2﹣4﹣1＝3，
∴这组数据中5出现次数最多，有4次，
∴众数为5，
中位数是第5、6个数据的平均数，而第5、6个数据均为5，
∴这组数据的中位数为＝5，
故选：C．
16．（3分）如图所示3×3的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出大正方形的面积，再求出阴影部分的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积＝3×3＝9，
阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小直角三角形的面积＝9﹣4××2×1＝9﹣4＝5，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域（顶点都在格点上）的概率为．
故选：A．
17．（3分）如图，半圆O的直径AB＝4，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2π+2 B．2π+4 C．2π﹣4 D．4π﹣8
【分析】先根据题意判断出△A′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得＝，然后根据S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP直接进行计算即可．
【解答】解：连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB＝90°，
∵∠OBA′＝45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′＝PB＝AB＝2，
∴＝，
∴S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP＝﹣＝2π﹣4，
故选：C．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出AC＝10，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，
∴S△PAB＝×8×3＝12，
设△PAB内切圆半径是r，
∵S△PAB＝（AP+PB+AB）•r＝12，
∴AP+BP最小时，r有最大值，
如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，
∵AP+BP＝AP+CP≥CA，
∴此时CA即为AP+BP最小值，
∵AB＝8，AD＝6，
∴AC＝＝10，
∴AP+BP最小值为10，
∴PA＝PB＝5，
∴×8×r＝12，
解得r＝．
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）解方程：
（1）（x+2）2＝2x+7；
（2）x+1﹣x（x+1）＝0．
【分析】（1）直接去括号，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式，解方程即可；
（2）直接提取公因式（x+1），进而分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2+2x−3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x+1）（1﹣x）＝0，
则x+1＝0或1﹣x＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1．
20．（8分）甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表：
甲校选手得分
97
91
80
91
81
乙校选手得分
76
92
94
86
92
（1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；
（2）如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．
【分析】（1）计算甲、乙两校参赛学生成绩的平均分，众数，中位数，方差，再进行分析即可；
（2）计算各校前3名的平均分，比较即可．
【解答】解：（1）由表中数据可知，甲校的平均分是＝88（分），
众数是91，
中位数是91，
方差是×[（88﹣97）2+（88﹣91）2+（88﹣80）2+（88﹣91）2+（88﹣81）2]＝42.4；
乙校的平均分是＝88（分），
众数是92，
中位数是92，
方差是×[（88﹣76）2+（88﹣92）2+（88﹣94）2+（88﹣86）2+（88﹣92）2]＝43.2．
甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好；
（2）甲校派出选手的成绩为91、91、97，平均分是＝93，
乙校派出选手的成绩为92、92、94，平均分是≈92.7，
甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些．
21．（8分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+（2k﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义得到k+2≠0且|k|＝2，解得k＝2，原方程化为4x2+x+m＝0，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝1−16m＞0，再解不等式即可；
（2）取m＝0，则Δ＝1，方程变形为4x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且|k|＝2，
解得k＝2，
原方程化为4x2+x+m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1−16m＞0，
解得m＜，
即实数m的取值范围为m＜；
（2）取m＝0，则方程变形为4x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
22．（8分）扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有54张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余52张牌代表一年中的52个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有13张牌，表示每个季节有13个星期；如果把J、Q、K分别当作11、12、13点，大王、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是365点，而闰年把大、小王各算为1个点，共366点．扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系．
小云将黑桃1，红桃2、梅花3、方块4这四张牌的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张．用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意，列表如下：
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
共有12种等可能的情况数，其中翻开的两张分别代表冬季、春季的有2种，
则翻开的两张分别代表冬季、春季的概率是＝．
23．（10分）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
【分析】利用总价＝单价×数量可求出购买10双鞋所需费用，由该值小于3600可得出购买数量超过10，设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的售价为（300﹣6x）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合单价不能低于160元，即可得出这位顾客购买了20双鞋．
【解答】解：∵240×10＝2400（元），2400＜3600，
∴购买数量超过10．
设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的单价为240﹣6（x﹣10）＝（300﹣6x）元，
依题意得：x（300﹣6x）＝3600，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30．
当x＝20时，300﹣6x＝300﹣6×20＝180＞160，符合题意；
当x＝30时，300﹣6x＝300﹣6×30＝120＜160，不符合题意，舍去．
答：这位顾客购买了20双鞋．
24．（10分）如图，P是⊙O的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
（1）尺规作图：在⊙O上作出一点D，使得∠APC＝∠BPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证∠CPD＝∠COD．
【分析】（1）过C点作AB的垂线交⊙O于E，根据垂径定理得到AB垂直平分CE，则AB平分∠CPE，延长EP交⊙于D点，延长CP交⊙O于D′，则D点和D′点满足条件；
（2）利用PC＝PE得到∠PCE＝∠PEC，再利用三角形外角性质得到∠CPD＝2∠PEC，而根据圆周角定理得到∠COD＝2∠DEC，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，点D和D'即为所求；
（2）证明：∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∴∠CPD＝∠PEC+∠PCE＝2∠PEC，
∵∠COD＝2∠DEC，
∴∠CPD＝∠COD．
25．（10分）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 m2，n2 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 ax2+2bx+4c＝0 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x1＝﹣＝﹣1
2x2﹣7x+3＝0
x1＝＝3
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2＝
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1＝，x2＝﹣
…
…
…
…
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 cx2+bx+a＝0 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y＝，根据题意可得＝m或＝n，即可求解方程；
（2）由题意可知m+n＝﹣，mn＝，由于方程的两个根分别是2m，2n，则2m+2n＝﹣，am•2n＝，即可写出符合条件的方程；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数；
（2）先将cx2+bx+a＝0变形为，设，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，即可证明．
【解答】解：【理解】（1）令y＝，
∴方程ax+b+c＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴＝m或＝n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案为：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴x＝m或x＝n，
∴m+n＝﹣，mn＝，
∵方程的两个根分别是2m，2n，
∴2m+2n＝﹣，am•2n＝，
∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
（2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得，
设，方程可变形为ay2+by+c＝0，
设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，
可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n，
把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，
所以方程cx2+bx+a＝0的解是，，
即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数．
26．（14分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）求证：PB与⊙Q相切；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求n的值及PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是 2或 ．（直接写出答案）
【分析】（1）由角平分线和平行可证PA＝PQ，从而得出四边形APQB为菱形；则PB⊥AQ，垂足为C，即可证明PB与⊙Q相切；
（2）由AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，可得AD＝3，设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，在Rt△BDQ中，，解方程即可；
（3）当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，当⊙Q过点M时，连接QM，作QE⊥AM于E，设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，由NQ+ME＝AM＝5得，＝5，解方程即可，当⊙Q第二次经过点M时，同理可得．
【解答】（1）证明：∵∠PAM的角平分线交直线NP于点Q，
∴∠PAQ＝∠BAQ，
∵PQ∥AB，
∴∠PQA＝∠BAQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴PA＝PQ，
又∵QB∥PA，
∴四边形APQB为平行四边形，
∴四边形APQB为菱形；
∴PB⊥AQ，垂足为C，
∴PB与⊙Q相切；
（2）解：如图，当AM与⊙Q相切于点D时，AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，
在Rt△ADQ中，AD＝，
设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，
在Rt△BDQ中，，
解得，即，
∴n＝3，AP＝2；
（3）解：当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，
当⊙Q过点M时，如图，连接QM，作QE⊥AM于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ+ME＝AM＝5得，
＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2+400y﹣2225＝0，
解得y1＝5，y2＝﹣（舍），
∴x＝，
当⊙Q第二次经过点M时，作ME⊥NQ于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ﹣EQ＝AM＝5得，
﹣＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x1＝，x2＝（舍），
∴⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是QC＝2或．
故答案为：2或．
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 ．
2．（2分）如图，把一个边长为6的正三角形纸片剪去3个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 ．
3．（2分）已知x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m＝ ．
4．（2分）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
5．（2分）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．
6．（2分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠A＝30°，则∠BCD＝ °．
7．（2分）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示， （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定．
8．（2分）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
9．（2分）据统计，九（1）班40名学生中，有4人a岁，30人b岁，6人c岁（这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁）．这个班级学生的平均年龄更接近 岁（填“a”、“b”或“c”）．
10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若BC＝9，AC＝3，则⊙O的半径等于 ．
11．（2分）一组数据21，22，23，24，25，用符号A表示，记为A＝（21，22，23，24，25），加入一个数据a后，用符号B表示，记为B＝（21，22，23，24，25，a）．
①若a＝22，则A的平均数大于B的平均数；
②若a＝23，则A的方差等于B的方差；
③若a＝24，则A的中位数小于B的中位数．
其中正确的序号是 ．
12．（2分）如图，有一张四边形纸片ABCD，已知AB＝，AD＝2，∠B＝80°，∠C＝∠D＝90°，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+3x+1＝0
14．（3分）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
15．（3分）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，5 D．都无法确定
16．（3分）如图所示3×3的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（3分）如图，半圆O的直径AB＝4，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2π+2 B．2π+4 C．2π﹣4 D．4π﹣8
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）解方程：
（1）（x+2）2＝2x+7；
（2）x+1﹣x（x+1）＝0．
20．（8分）甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表：
甲校选手得分
97
91
80
91
81
乙校选手得分
76
92
94
86
92
（1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；
（2）如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．
21．（8分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+（2k﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
22．（8分）扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有54张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余52张牌代表一年中的52个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有13张牌，表示每个季节有13个星期；如果把J、Q、K分别当作11、12、13点，大王、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是365点，而闰年把大、小王各算为1个点，共366点．扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系．
小云将黑桃1，红桃2、梅花3、方块4这四张牌的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张．用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率．
23．（10分）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
24．（10分）如图，P是⊙O的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
（1）尺规作图：在⊙O上作出一点D，使得∠APC＝∠BPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证∠CPD＝∠COD．
25．（10分）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x1＝﹣＝﹣1
2x2﹣7x+3＝0
x1＝＝3
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2＝
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1＝，x2＝﹣
…
…
…
…
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
26．（14分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）求证：PB与⊙Q相切；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求n的值及PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是 ．（直接写出答案）
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的解是 x＝±2 ．
【分析】式子x2﹣4＝0先移项，变成x2＝4，从而把问题转化为求4的平方根．
【解答】解：移项得x2＝4，
∴x＝±2．
故答案为：x＝±2．
2．（2分）如图，把一个边长为6的正三角形纸片剪去3个小三角形，得到一个正六边形（图中的阴影部分），则剪去的每个小三角形的边长等于 2 ．
【分析】根据正六边形的定义可得EF＝FG＝GH，根据等边三角形的定义可知EF＝BF，HG＝GC，所以得出BF＝FG＝GC，可得出FG的长度，从而求得答案．
【解答】解：∵六边形DEFGHI为正六边形，
∴EF＝FG＝GH，
∵△BEF和△CGH为正三角形，
∴BF＝EF＝FG＝HG＝GC，
∴BC＝3FG，
∴FG＝2，
即剪去的每个小三角形的边长等于2．
故答案为：2．
3．（2分）已知x＝2是关于x的方程x2+x﹣2m＝0的一个根，则m＝ 3 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2+2x﹣2m＝0的一个根，
∴22+2﹣2m＝0，
解得，m＝3．
故答案是：3．
4．（2分）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 2 ．
【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解．
【解答】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大，
∴n的最小值等于3+1﹣2＝2．
故答案为：2．
5．（2分）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．
【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．
故答案为：．
6．（2分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠A＝30°，则∠BCD＝ 60 °．
【分析】连接BD，由BC为直径可得∠BDC＝90°，再由∠B＝∠A＝30°，即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：连接BD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60．
7．（2分）甲、乙两人在相同情况下各打靶8次，每次打靶的成绩如图所示， 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩更稳定．
【分析】根据成绩图可以得到甲、乙8次打靶的成绩，再根据方差公式s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]代入样本数据计算即可．
【解答】解：甲的平均数＝（10+7+7+8+8+8+9+7）÷8＝6.4，甲的方差S甲2＝[（6.4﹣10）2+3×（6.4﹣7）2+3×（6.4﹣8）2+（6.4﹣9）2]÷8＝3.56；
乙的平均数＝（10+5+5+8+9+9+8+10）÷8＝6.4，乙的方差S乙2＝[2×（6.4﹣10）2+2×（6.4﹣8）2+2×（6.4﹣9）2+2×（6.4﹣5）2]÷8＝6.06；
∴S甲2＜S乙2，
∴甲比乙稳定．
故答案为：甲．
8．（2分）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为80（1﹣x）2＝51.2．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 a（1﹣x）n＝b ．
【分析】利用经过n次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：a（1﹣x）n＝b．
故答案为：a（1﹣x）n＝b．
9．（2分）据统计，九（1）班40名学生中，有4人a岁，30人b岁，6人c岁（这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁）．这个班级学生的平均年龄更接近 b 岁（填“a”、“b”或“c”）．
【分析】根据平均数的计算公式即可求出．
【解答】解：这个班40名同学的平均年龄是（岁）．
∵这40名学生的岁数之间只相差1岁或2岁，
∴这个班级学生的平均年龄更接近b岁，
故答案为：b．
10．（2分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若BC＝9，AC＝3，则⊙O的半径等于 4 ．
【分析】连接OA，根据AC是⊙O的切线，得到∠OAC＝90°，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵BC＝9，
∴OC＝9﹣OA，
∵OA2+AC2＝OC2，
∴OA2+32＝（9﹣OA）2，
∴OA＝4，
故答案为：4．
11．（2分）一组数据21，22，23，24，25，用符号A表示，记为A＝（21，22，23，24，25），加入一个数据a后，用符号B表示，记为B＝（21，22，23，24，25，a）．
①若a＝22，则A的平均数大于B的平均数；
②若a＝23，则A的方差等于B的方差；
③若a＝24，则A的中位数小于B的中位数．
其中正确的序号是 ①③ ．
【分析】根据方差、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：①若a＝22，则A的平均数为＝23，
B的平均数＝，
∴A的平均数大于B的平均数，正确；
②若a＝23，则A的平均数为＝23，
A的方差：×[（23﹣21）2+（23﹣22）2+（23﹣23）2+（23﹣24）2+（23﹣25）2]＝2，
B的平均数＝23，
B的方差：×[（23﹣21）2+（23﹣22）2+（23﹣23）2+（23﹣24）2+（23﹣25）2+（23﹣23）2]＝，
∴A的方差不等于B的方差，错误；
③若a＝24，则A的中位数为23，
B的中位数＝23.5．
∴A的中位数小于B的中位数，正确．
故答案为：①③．
12．（2分）如图，有一张四边形纸片ABCD，已知AB＝，AD＝2，∠B＝80°，∠C＝∠D＝90°，小明和小丽各做了如图操作，请你选择他俩当中的一人所剪出的扇形，求出它的弧长等于 π或π ．
【分析】分别求出两种扇形的圆心角，半径，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：小明的最大的扇形ATE，如图所示：
∵AB＝AE＝2，AD＝2，∠D＝90°，
∴DE＝＝＝2，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝45°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝80°，
∴∠DAB＝100°，
∴∠BAE＝55°，
∵AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝80°，
∴∠BAT＝180°﹣160°＝20°，
∴∠EAT＝55°﹣20°＝35°，
∴的长＝＝ππ．
小丽的扇形的圆心角为100°，半径为2，
∴扇形的弧长＝＝π，
故答案为：π或π．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13．（3分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+3x+1＝0
【分析】分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【解答】解：A．此选项方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
B．此选项方程根的判别式Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
C．此选项方程根的判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程没有实数根；
D．此选项方程根的判别式Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
14．（3分）小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
15．（3分）王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．4，4 B．5，4 C．5，5 D．都无法确定
【分析】先根据数据的总个数得出a+b＝3，再利用众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵一共抽取10名同学，
∴a+b＝10﹣2﹣4﹣1＝3，
∴这组数据中5出现次数最多，有4次，
∴众数为5，
中位数是第5、6个数据的平均数，而第5、6个数据均为5，
∴这组数据的中位数为＝5，
故选：C．
16．（3分）如图所示3×3的正方形网格，若向该网格中进行随机投掷飞镖试验，则飞镖扎在阴影区域（顶点均在格点上）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出大正方形的面积，再求出阴影部分的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．
【解答】解：∵大正方形的面积＝3×3＝9，
阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小直角三角形的面积＝9﹣4××2×1＝9﹣4＝5，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域（顶点都在格点上）的概率为．
故选：A．
17．（3分）如图，半圆O的直径AB＝4，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A．2π+2 B．2π+4 C．2π﹣4 D．4π﹣8
【分析】先根据题意判断出△A′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得＝，然后根据S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP直接进行计算即可．
【解答】解：连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB＝90°，
∵∠OBA′＝45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′＝PB＝AB＝2，
∴＝，
∴S阴影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP＝﹣＝2π﹣4，
故选：C．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，△PAB内切圆半径的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出AC＝10，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥AB，
∵P在EF上，AB＝8，BC＝6，
∴S△PAB＝×8×3＝12，
设△PAB内切圆半径是r，
∵S△PAB＝（AP+PB+AB）•r＝12，
∴AP+BP最小时，r有最大值，
如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'，
∵AP+BP＝AP+CP≥CA，
∴此时CA即为AP+BP最小值，
∵AB＝8，AD＝6，
∴AC＝＝10，
∴AP+BP最小值为10，
∴PA＝PB＝5，
∴×8×r＝12，
解得r＝．
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）解方程：
（1）（x+2）2＝2x+7；
（2）x+1﹣x（x+1）＝0．
【分析】（1）直接去括号，再合并同类项，再利用十字相乘法分解因式，解方程即可；
（2）直接提取公因式（x+1），进而分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2+2x−3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）（x+1）（1﹣x）＝0，
则x+1＝0或1﹣x＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝1．
20．（8分）甲、乙两校各有5名学生参加区教育局举办的青少年党史知识竞赛，成绩如表：
甲校选手得分
97
91
80
91
81
乙校选手得分
76
92
94
86
92
（1）对甲、乙两校参赛学生的成绩进行评价；
（2）如果各校从他们参赛的5名学生中派出前3名参加下一轮的决赛，你认为哪个学校的选手实力更强一些？说说你的理由．
【分析】（1）计算甲、乙两校参赛学生成绩的平均分，众数，中位数，方差，再进行分析即可；
（2）计算各校前3名的平均分，比较即可．
【解答】解：（1）由表中数据可知，甲校的平均分是＝88（分），
众数是91，
中位数是91，
方差是×[（88﹣97）2+（88﹣91）2+（88﹣80）2+（88﹣91）2+（88﹣81）2]＝42.4；
乙校的平均分是＝88（分），
众数是92，
中位数是92，
方差是×[（88﹣76）2+（88﹣92）2+（88﹣94）2+（88﹣86）2+（88﹣92）2]＝43.2．
甲、乙两校的平均分相等，甲校的方差小于乙校的方差，因此甲校学生的成绩较稳定，成绩较好；
（2）甲校派出选手的成绩为91、91、97，平均分是＝93，
乙校派出选手的成绩为92、92、94，平均分是≈92.7，
甲校的平均分高于乙校，因此甲校的选手实力更强些．
21．（8分）已知关于x的方程（k+2）x|k|+（2k﹣3）x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）请你给出m的一个值，使得这个方程的两个根都是有理数，并求出这两个根．
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义得到k+2≠0且|k|＝2，解得k＝2，原方程化为4x2+x+m＝0，然后根据根的判别式的意义得到Δ＝1−16m＞0，再解不等式即可；
（2）取m＝0，则Δ＝1，方程变形为4x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得k+2≠0且|k|＝2，
解得k＝2，
原方程化为4x2+x+m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1−16m＞0，
解得m＜，
即实数m的取值范围为m＜；
（2）取m＝0，则方程变形为4x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
22．（8分）扑克牌在生活中很常见，一副扑克牌共有54张，对它们的解释也非常奇妙：大王代表太阳、小王代表月亮，其余52张牌代表一年中的52个星期；红桃、方块、梅花、黑桃四种花色分别象征着春、夏、秋、冬四个季节；每种花色有13张牌，表示每个季节有13个星期；如果把J、Q、K分别当作11、12、13点，大王、小王为半点，一副扑克牌的总点数恰好是365点，而闰年把大、小王各算为1个点，共366点．扑克牌的设计和发明与天文、历法有着千丝万缕的联系．
小云将黑桃1，红桃2、梅花3、方块4这四张牌的背面朝上，洗匀后从中任意翻开两张．用画树状图或列表的方法，求翻开的两张分别代表冬季、春季的概率．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意，列表如下：
1
2
3
4
1
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
共有12种等可能的情况数，其中翻开的两张分别代表冬季、春季的有2种，
则翻开的两张分别代表冬季、春季的概率是＝．
23．（10分）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
【分析】利用总价＝单价×数量可求出购买10双鞋所需费用，由该值小于3600可得出购买数量超过10，设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的售价为（300﹣6x）元，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合单价不能低于160元，即可得出这位顾客购买了20双鞋．
【解答】解：∵240×10＝2400（元），2400＜3600，
∴购买数量超过10．
设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的单价为240﹣6（x﹣10）＝（300﹣6x）元，
依题意得：x（300﹣6x）＝3600，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30．
当x＝20时，300﹣6x＝300﹣6×20＝180＞160，符合题意；
当x＝30时，300﹣6x＝300﹣6×30＝120＜160，不符合题意，舍去．
答：这位顾客购买了20双鞋．
24．（10分）如图，P是⊙O的直径AB上的一点（不与点A、O、B重合），点C在直径AB上方的半圆上（异于点A、B）．
（1）尺规作图：在⊙O上作出一点D，使得∠APC＝∠BPD（作出所有符合条件的点，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中所作出的符合条件的点中，找到与点C位于直径AB同侧的点D，连接OC、OD，求证∠CPD＝∠COD．
【分析】（1）过C点作AB的垂线交⊙O于E，根据垂径定理得到AB垂直平分CE，则AB平分∠CPE，延长EP交⊙于D点，延长CP交⊙O于D′，则D点和D′点满足条件；
（2）利用PC＝PE得到∠PCE＝∠PEC，再利用三角形外角性质得到∠CPD＝2∠PEC，而根据圆周角定理得到∠COD＝2∠DEC，从而得到结论．
【解答】（1）解：如图，点D和D'即为所求；
（2）证明：∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∴∠CPD＝∠PEC+∠PCE＝2∠PEC，
∵∠COD＝2∠DEC，
∴∠CPD＝∠COD．
25．（10分）【阅读】
小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程a（x+m+1）2+b＝0的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．
解：在方程a（x+m+1）2+b＝0中令y＝x+1，则方程可变形为a（y+m）2+b＝0，
根据关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
可得方程a（y+m）2+b＝0的解是y1＝﹣3，y2＝2．
把y＝﹣3代入y＝x+1得，x＝﹣4，把y＝2代入y＝x+1得，x＝1，
所以方程a（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1．
【理解】
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n．
（1）关于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的两根分别是 m2，n2 （用含有m、n的代数式表示）；
（2）方程 ax2+2bx+4c＝0 的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）
【猜想与证明】
观察下表中每个方程的解的特点：
方程
方程的解
方程
方程的解
x2+4x+3＝0
x1＝﹣3，x2＝﹣1
3x2+4x+1＝0
x1＝﹣＝﹣1
2x2﹣7x+3＝0
x1＝＝3
3x2﹣7x+2＝0
x1＝2，x2＝
x2﹣2x﹣8＝0
x1＝4，x2＝﹣2
8x2+2x﹣1＝0
x1＝，x2＝﹣
…
…
…
…
（1）猜想：方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根与方程 cx2+bx+a＝0 的两个根互为倒数；
（2）仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．
【分析】【理解】（1）令y＝，根据题意可得＝m或＝n，即可求解方程；
（2）由题意可知m+n＝﹣，mn＝，由于方程的两个根分别是2m，2n，则2m+2n＝﹣，am•2n＝，即可写出符合条件的方程；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数；
（2）先将cx2+bx+a＝0变形为，设，方程可变形为ay2+by+c＝0，设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，则可得方程ay2+by+c＝0的解为y1＝m，y 2＝n，把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，即可证明．
【解答】解：【理解】（1）令y＝，
∴方程ax+b+c＝0（a≠0）可化为ay2+by+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴y＝m或y＝n，
∴＝m或＝n，
∴x＝m2或x＝n2，
故答案为：m2，n2；
（2）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根m，n，
∴x＝m或x＝n，
∴m+n＝﹣，mn＝，
∵方程的两个根分别是2m，2n，
∴2m+2n＝﹣，am•2n＝，
∴方程ax2+2bx+4c＝0的两个根为2m，2n，
故答案为：ax2+2bx+4c＝0；
【猜想与证明】（1）由表格可得：cx2+bx+a＝0的两个根与方程ax2+bx+c＝0（a≠0，c≠0，b2﹣4ac≥0）的两个根互为倒数，
故答案为：cx2+bx+a＝0；
（2）证明：由cx2+bx+a＝0两边同除以x2，得，
设，方程可变形为ay2+by+c＝0，
设方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝m，x2＝n，
可得方程ay2+by+c＝0的解是y1＝m，y 2＝n，
把y＝m代入得，；把y＝n代入得，x＝，
所以方程cx2+bx+a＝0的解是，，
即方程ax2+bx+c＝0的两个根与方程cx2+bx+a＝0的两个根互为倒数．
26．（14分）已知线段AM＝5，射线AS垂直于AM，点N在射线AS上，设AN＝n，点P在经过点N且平行于AM的直线上运动，∠PAM的平分线交直线NP于点Q，过点Q作QB∥AP，交线段AM于点B，连接PB交AQ于点C，以Q为圆心，QC为半径作圆．
（1）求证：PB与⊙Q相切；
（2）已知⊙Q的半径为3，当AM所在直线与⊙Q相切时，求n的值及PA的长；
（3）当n＝2时，若⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是 2或 ．（直接写出答案）
【分析】（1）由角平分线和平行可证PA＝PQ，从而得出四边形APQB为菱形；则PB⊥AQ，垂足为C，即可证明PB与⊙Q相切；
（2）由AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，可得AD＝3，设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，在Rt△BDQ中，，解方程即可；
（3）当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，当⊙Q过点M时，连接QM，作QE⊥AM于E，设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，由NQ+ME＝AM＝5得，＝5，解方程即可，当⊙Q第二次经过点M时，同理可得．
【解答】（1）证明：∵∠PAM的角平分线交直线NP于点Q，
∴∠PAQ＝∠BAQ，
∵PQ∥AB，
∴∠PQA＝∠BAQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∴PA＝PQ，
又∵QB∥PA，
∴四边形APQB为平行四边形，
∴四边形APQB为菱形；
∴PB⊥AQ，垂足为C，
∴PB与⊙Q相切；
（2）解：如图，当AM与⊙Q相切于点D时，AN＝QD＝QC＝3，AQ＝6，∠ADQ＝90°，
在Rt△ADQ中，AD＝，
设AP＝AB＝BQ＝x，则BD＝，
在Rt△BDQ中，，
解得，即，
∴n＝3，AP＝2；
（3）解：当⊙Q与AM相切时，r＝2，此时⊙Q与AM只有一个公共点，
当⊙Q过点M时，如图，连接QM，作QE⊥AM于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ+ME＝AM＝5得，
＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2+400y﹣2225＝0，
解得y1＝5，y2＝﹣（舍），
∴x＝，
当⊙Q第二次经过点M时，作ME⊥NQ于E，
设QM＝QC＝x，则AQ＝2x，
由NQ﹣EQ＝AM＝5得，
﹣＝5，
设x2＝y，
则方程转化为9y2﹣250y+1025＝0，
解得y1＝5，y2＝，
∴x1＝，x2＝（舍），
∴⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是QC＝2或．
故答案为：2或．
相关试卷
2023-2024学年江苏省镇江市市区九年级（上）期中数学试卷： 这是一份2023-2024学年江苏省镇江市市区九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省镇江市市区七年级（上）期中数学试卷(解析版)： 这是一份2022-2023学年江苏省镇江市市区七年级（上）期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2021-2022学年江苏省镇江市市区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了【答案】3，【答案】2，【答案】125，【答案】60，【答案】甲，【答案】an=b，【答案】b等内容，欢迎下载使用。
