人教版八年级下册数学 【教学设计】一次函数的图象与性质学案

一次函数的图象与性质

教学目标

【知识与技能】

会画一次函数的图象.

【过程与方法】

利用数形结合的思想,分析一次函数与正比例函数的联系以及一次函数的性质.

【情感、态度与价值观】

感受事物之间普遍性与特殊性的关系.

教学重难点

【重点】

一次函数图象的画法.

【难点】

根据一次函数的图象特征理解并掌握一次函数的性质.

教学过程

一、创设情境,引入新课

师:正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0),它的图象是经过原点的一条直线.

师:一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0),那么它的图象是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容.

二、讲授新课

【活动一】

活动内容设计:画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象,比较两个函数的图象,探究它们的联系并解释原因.

活动设计意图:通过活动,加深学生对一次函数与正比例函数关系的理解,认清一次函数图象的特征.

教师活动:引导学生从图象的形状、倾斜程度以及与y轴的交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解表达式中的k、b在图象中的意义,体会数形结合思想在实际中的应用.

学生活动:在教师的引导下利用列表、描点、连线作出两个函数的图象,然后根据教师的引导从多方面比较两个函数的图象的相同点与不同点.

结果:这两个函数的图象形状都是　　　　,并且倾斜程度　　　　.函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点　　　　,即它可以看作由直线y=-6x向　　　　平移　　　　个单位长度而得到. 

结论:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).

既然一次函数的图象是一条直线,所以今后画一次函数的图象,只要取两点再过这两点画直线即可.

练习:画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.

过(0,-1)点与(1,1)点画出直线y=2x-1.

过(0,1)点与(1,0.5)点画出直线y=-0.5x+1.

师:这两个函数的图象还可以用其他的方法画吗?

生:先画直线y=2x与y=-0.5x,再分别平移它们,也能得到函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.

【活动二】

活动内容设计:画出函数y=x+1,y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象.由它们联想:一次函数的表达式y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?

活动设计意图:通过活动,熟悉一次函数图象的画法.通过观察发现图象的规律,并根据它归纳总结出函数值大小的性质.体会数形结合思想的探究方法在数学中的重要性,进而认识并理解一次函数的图象特征与表达式之间的联系.

目的:引导学生从函数图象的特征入手,寻求变量数值变化规律与表达式中k值的联系.

图象规律:

当k>0时,直线y=kx+b由左至右上升;

当k<0时,直线y=kx+b由左至右下降.

函数性质:

当k>0时,y随x的增大而增大;

当k<0时,y随x的增大而减小.

【活动三】

在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,并归纳y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中b对函数图象的影响.

1.y=x-1,y=x,y=x+1.

2.y=-2x+1,y=-2x,y=-2x-1.

过程与结论:

b决定直线y=kx+b与y轴交点的位置.

当b>0时,交点在原点的上方;

当b=0时,交点即原点;

当b<0时,交点在原点的下方.

三、例题讲解

【例】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,并求出它们与坐标轴交点的坐标:

y=3x,y=-3x+2.

分析:因为一次函数的图象是直线,根据两点确定一条直线,所以只要画出图象上的两个点,就能画出一次函数的图象.

【答案】对函数y=3x.

取x=0,得y=0,得到点(0,0);

取x=1,得y=3,得到点(1,3).

过点(0,0)、(1、3)画直线,就得到函数y=3x的图象,如图.从图象中可以看出,它与坐标轴的交点是原点(0,0).

同理,对函数y=-3x+2,

取x=0,得y=2,得到点(0,2);

取x=1,得y=-1,得到点(1,-1).

过点(0,2)、(1,-1)画直线,就得到函数y=-3x+2的图象,如图,从图象中可以看出,它与x轴的交点坐标是(,0),与y轴的交点坐标是(0,2).

四、举一反三

1.直线y=2x-3与x轴的交点坐标为　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　,图象经过第　　　　象限,y随x的增大而　　　　. 

2.在同一直角坐标系中画出下列函数图象,并指出它们的共同之处:

y=x+1,y=x+1,y=2x+1,y=-x+1.

五、课堂小结

本节课学习了一次函数的图象特征以及与之对应的一次函数的性质,并学会了简单画图象的方法,进而利用数形结合的探究方法寻求出一次函数的图象特征与表达式的联系,这使我们对一次函数知识的理解和掌握更透彻,也体会到数形结合思想在数学学习中的重要性.