初中5.3.1 平行线的性质导学案

这是一份初中5.3.1 平行线的性质导学案，共29页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题5.13 平行线的性质（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
特别说明：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
特别说明：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
【典型例题】
类型一、两直线平行，同位角相等
1．已知中，，，平分，求的度数．

【答案】25°
【分析】由两直线平行同位角相等，得出，由角平分线的性质得出，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴
∴．
【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，熟练掌握各性质是解得此题的关键．
举一反三：
【变式1】 理解证明：
如图1，直线经过点A，．求证

证明：∵，
∴__________
__________（______________________________）．
又__________°（______________________________），
∴．
应用证明：
如图2，是的平分线，．求证．

【答案】（1）；；两直线平行，内错角相等；；平角的定义；（2）见解析
【分析】（1）根据平行线的性质，平角的定义完成推理过程即可；
（2）根据平行线的性质，可得，，根据角平分线的定义可得，进而即可得证．
（1）证明：∵，
∴
（两直线平行，内错角相等）．
又（平角的定义），
∴．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；平角的定义；
（2）是的平分线，．


，
．
【点拨】本题考查了平角的定义，平行线的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的定义与平行线的性质是解题的关键．
【变式2】如图，AB∥CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，求∠2的度数．

【答案】32°
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFE即可．
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵FG平分∠EFD，
∴
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质是解题的关键．
类型二、两直线平行，内错角相等
2．完成推理填空．填写推理理由：
如图：，，，把求的过程填写完整．

∵（已知）
∴______，（____________）．
又∵，（____________）．
∴，（等量代换）
∴______，（____________）．
∴_____，（____________）．
又∵，
∴_____．
【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行；； 两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】根据平行线的性质得，等量代换得，所以，再根据平行线的性质得，又因为，即可得．
解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵，（已知），
∴，（等量代换），
∴，（内错角相等，两直线平行），
∴，（两直线平行，同旁内角互补），
又∵，
∴，
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
举一反三：
【变式1】 将一副三角尺拼成如图所示的图形，（，），过点作平分交于点．

（1）求证：；
（2）的度数为________．
【答案】（1）见解析；（2）135°
【分析】（1）根据平分，可得，从而，即可求证；
（2）由（1）可知，即可求解．
（1）证明：依题意得知
平分，
，
，
，
；
（2）根据题意得 ，
∵，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，角的和与差，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．
【变式2】填空完成推理过程：
如图，点D，E，F分别是的边AC，BC，AB上的点，，．
求证．
证明：∵，
∴____________（ ）．
∵，
∴____________（ ），
∴．

【答案】，两直线平行，内错角相等；，两直线平行，同位角相等
【分析】根据平行线的性质即可求解；
证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∴．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等．
【点拨】此题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
类型三、两直线平行，同旁内角互补
3．如图，点D，E分别在AB和AC上，，，，求的度数．

【答案】
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用平行线的性质求解．
解：∵，，
∴∠ABC=∠DBE+∠EBC=55°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∴∠BDE=180°-∠ABC=125°．
【点拨】此题考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，熟记平行线的性质并掌握图形中各角度之间的位置关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知：如图，，．求证：，．

【答案】证明见解析．
【分析】由直线平行的性质可求得，，可以利用同角的补交相等，可得∠A=∠C，同理可得∠B=∠D．
解：∵（已知），
∴， （两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴，（两直线平行，同旁内角互补）．
∴，（同角的补角相等）．
【点拨】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式2】如图，，直线分别交，于E，F，平分．
（1）请写出图中与相等的角；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）；；（2）50°
【分析】（1）∠BEG，∠FEG；由平行线的性质及角平分线的定义即可得解；
（2）由平行线的性质得出∠BEF＝100°，根据角平分线的定义得出∠BEG＝∠BEF＝50°，最后根据平行线的性质即可得解．
解：（1）∠BEG，∠FEG，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG，
∴∠2＝∠BEG＝∠FEG；
（2）∵AB∥CD，
∴∠1＋∠BEF＝180°，
∵∠1＝80°，
∴∠BEF＝100°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝50°．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
类型四、根据平行线的性质探究角的关系
4．阅读下列材料，并完成相应任务．
小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：
如图1，已知：三角形，求证．

证法一：如图2，过点作直线DE∥BC，
∵，∴，，
∵，∴，
即三角形内角和是．
证法二：如图3，延长至，过点作CN∥AB，
…
任务：（1）证法一的思路是用平行线的性质得到，，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是__________（将正确选项代码填入空格处）
A． 数形结合思想，B． 分类思想，C． 转化思想，D． 方程思想
（2）将证法二补充完整．
【答案】（1）C；（2）见解析
【分析】（1）根据将三角形内角和问题转化为一个平角，可得数学方法是转化思想；
（2）根据题目条件进行补全即可；
（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想，故答案为：C；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，规律型图形变化类，准确分析判断是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知：如图，，点E在AC上．求证：．

【答案】见解析
【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可.
解：在中，
∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质），
又∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（等式的性质），
∴（等量代换）．
【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式2】如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．

【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证明见解析
【分析】（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（3）作PH∥AB ，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A=∠1，∠C=∠2，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=∠A+∠C，
即：∠A+∠C＝∠P；

（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠A+∠C+∠APC=360°，
即：∠A+∠P+∠C＝360°；

（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：
如图所示，作PH∥AB ，则PH∥CD，
∴∠HPA＋∠A＝180°，
∴∠HPA＝180°－∠A，
∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，
∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，
即：∠A＝∠P+∠C；

（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，
∵∠APC=∠EPC－∠EPA，
∴∠APC=∠C－∠A，
即：∠C＝∠P+∠A．

【点拨】本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键．
类型五、根据平行线的性质求角的度数
5．如图，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度数．

【答案】12°
【分析】首先根据平行线的性质求出∠BAQ，∠CAQ及∠BAC，然后根据角平分线求出∠BAP，最后利用∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP求解即可．
∵a∥b∥c，
∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，
又AP平分∠BAC，∠BAP＝×96°＝48°，
∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．
【点拨】本题主要考查几何图形中的角度问题，掌握平行线的性质，角平分线的定义是关键．
举一反三：
【变式1】如图，CDAB，点O在直线AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，求∠DOF的度数．

【答案】
【分析】根据平行线的性质求得，根据角平分线和垂直求解即可．
解：∵
∴
∵OE平分∠BOD
∴
又∵OF⊥OE
∴
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了平行线、角平分线以及垂直的性质，解题的关键是掌握并利用它们的性质进行求解．
【变式2】 如图，点，分别是、上的点，，．

（1）对说明理由，将下列解题过程补充完整．
解：（已知）
________（________________________）
（已知）
___________（________________________）
（______________________________）
（2）若比大，求的度数．
【答案】（1）∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）70°
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A＝∠BFD，求出∠BFD＝∠FDE，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠AED＝180°，∠A＝∠BFD，再求出∠AED﹣∠A＝40°，即可求出答案．
（1）证明：∵DFAC（已知），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠FDE（已知），
∴∠FDE＝∠BFD（等量代换），
∴DEAB（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：∠BFD；两直线平行，同位角相等；∠BFD；等量代换；内错角相等，两直线平行；
（2）解：∵DFAC，
∴∠A＝∠BFD，
∵∠AED比∠BFD大40°，
∴∠AED﹣∠BFD＝40°，
∴∠AED﹣∠A＝40°，
∴∠AED＝40°+∠A，
∵DEAB，
∴∠A+∠AED＝180°，
∴∠A+40°+∠A＝180°，
∴∠A＝70°，
∴∠BFD＝70°．
【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
类型六、平行线的性质在生活中的运用
6．如图，在轮船 上测得轮船 在轮船 的南偏东 方向，岛 在轮船 的南偏东 方向；在轮船 上测得岛 在轮船 的北偏西 方向，从岛 看轮船 ， 的视角 ∠ACB 是多少度？

【答案】∠ACB=130°．
【分析】如图所示：过点C作CD∥AE．然后利用平行线的性质可求得∠ACD=100°，∠DCB=∠CBF=30°从而可求得答案．
解：过点 作 ，如图所示：

，，
．
，
．

，
．
．
【点拨】本题主要考查的是方向角的定义和平行线的性质和平行公理的推理，掌握平行线的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明

【答案】会，理由见解析
【分析】作，，根据可得出，再由平行线的判定定理即可得出结论．
解：．
理由如下：作，，如图，

，，，
，
，
，
．
【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键．
【变式2】如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

【答案】105°．
【分析】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．
解：过点B作直线BE∥CD．

∵CD∥AF，
∴BE∥CD∥AF．
∴∠A=∠ABE=105°．
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE+∠C=180°．
∴∠C=150°．
【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，将实际问题转化为关于平行线性质的数学问题．
类型七、根据平行线的性质和判定求角的度数
7．如图，∠1＝70º，∠2 ＝40º，∠B ＝70º．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE平分∠ADC，那么DE与AB平行吗？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）平行，见解析
【分析】（1）由可得AD∥BC，进而根据平行线的性质即可求得∠C的度数；
（2）根据∠2 =40º，以及DE平分∠ADC，求得，根据内错角相等两直线平行即可证明DE∥AB．
（1）∵∠1=70°∠B=70°
∴∠1=∠B
∴AD∥BC
∴∠C=∠2=40°
（2）如果DE平分∠ADC，则AB∥DE
理由：∵DE平分∠ADC，∠2 =40º
∴∠ADE=∠CDE===70°
又∵∠1=70°
∴∠ADE=∠1=70°
∴DE∥AB．
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，，，，求．

【答案】2：1
【分析】过C点作CF∥AB，根据平行线的性质解答即可．
解：过C点作CF∥AB，

∵AB∥ED，
∴CF∥DE，
∴∠B+∠2=∠D+∠1=180°，
∴β=∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠2+∠D+∠1=360°，
∵AB∥DE，
∴∠A+∠E=α=180°，
∴β:α=360°：180°=2：1，
【点拨】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质解答．
【变式2】如图，已知，，求的度数．在下面横线上填空或填写理由．

解：因为，
所以（ ）．
又因为（已知），
所以（同位角相等，两直线平行），
所以 （ ）．
【答案】见解析
【分析】根据垂线的定义与平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
解：因为CD⊥AB，
所以∠BDC=90°（垂线定义）．
又因为∠1=∠2（已知），
所以 CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠BEF=∠BDC=90°（两直线平行，同位角相等）．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
类型八、根据平行线的性质和判定进行证明
8．完成下面的证明．
如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ ），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EFAD（ ），
∴∠1＝∠BAD（ ），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠ （等量代换），
∴DGBA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（ ）．

【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补
【分析】先由垂直的定义得出两个90°的同位角，根据同位角相等判定两直线平行，根据两直线平行，同位角相等得到，再根据等量代换得出，根据内错角相等，两直线平行，最后根据两直线平行，同旁内角互补即可判定．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EFAD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠BAD（等量代换），
∴DGBA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；两直线平行，同旁内角互补
【点拨】本题考查的是平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是关键．
举一反三：
【变式1】 如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由．

【答案】相等，理由见解析
【分析】根据题目已知得出，由平行线的性质可得，由可证明，故可得，等量代换即可得出答案．
．理由如下：
,，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，同位角相等)，
，
(同位角相等，两直线平行)，
(两直线平行，内错角相等)，
(等量代换)．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图，已知∠AED=∠C,∠DEF=∠B，试说明∠EFG+∠BDG=180∘，请完成下列填空：

∵∠AED=∠C (_________)
∴ED∥BC(_________)
∴∠DEF=∠EHC (___________)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴_______(等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵_________________(邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180∘(___________)
【答案】已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EHC =∠B；∠DFE+∠EFG =180∘；等量代换
【分析】根据同位角相等，两直线平行推出ED∥BC，通过两直线平行，内错角相等推出∠DEF=∠EHC，再运用等量代换得到∠EHC =∠B，最后推出BD∥EH，∠BDG=∠DFE，再利用邻补角的意义推出结论，据此回答问题．
解：∵∠AED=∠C (已知)
∴ED∥BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠DEF=∠EHC (两直线平行，内错角相等)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴∠EHC =∠B (等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵∠DFE+∠EFG =180∘(邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180∘(等量代换)．
【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，属于综合题，难度一般，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
类型九、求平行线间的距离
9.如图，已知，，于点，于，．

（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）见解析（2）6
【分析】（1）根据已知求证即可；
（2）根据平行公理得出，从而得出即为点到的距离，再根据线段的和即可得出答案．
解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴即为点到的距离，
∵，，
∴，
，
故点到的距离为6．
【点拨】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．

（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质可求出的度数，再根据垂直的性质即可得；
（2）先画出a与b之间的距离，再利用三角形的面积公式即可得．
（1）如图，∵直线，

又
；
（2）如图，过A作于D，则AD的长即为a与b之间的距离




解得
故直线a与b的距离为．

【点拨】本题考查了平行线的性质、垂直的性质等知识点，属于基础题，熟记各性质是解题关键．
【变式2】已知直线a，b，c，a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为3，求a与c之间的距离．
【答案】a与c之间的距离是8或2.
【分析】分①当b在a，c之间和当c在b，a之间两种情况求解即可.
解：①当b在a，c之间时，
a与c之间的距离为5＋3＝8；
②当c在b，a之间时，
a与c之间的距离为5－3＝2.
所以a与c之间的距离是8或2.
【点拨】本题考查了两平行线间的距离及分类讨论的数学思想，因题目没指明三条直线的顺序关系，所以分两种情况求解是解答本题的关键.
类型十、利用平行线间的距离解决问题
10．已知：如图，，且，E为的中点．

（1）求证：；
（2）在不添加辅助线的情况下，除外，请再写出两个与的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）
【答案】（1）见解析；（2），（答案不唯一）．
【分析】（1）由两直线平行，同位角相等解得，再由SAS证得，根据全等三角形的性质得到，继而证明，由两直线平行，同位角相等解得，再由SAS证得；
（2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等解题即可．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵E是的中点，
∴，
∴；
（2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等，可知的面积与的面积相等．（答案不唯一）
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】 探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则．
如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点．

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．
（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：_______与的面积相等；理由是：___________．
【答案】（1）和，和，和；（2），同底等高的两个三角形的面积相等
【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿与为例：两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；
（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．
解：（1）有三对分别是：和，和，和，
分析如下：
和，两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；
和，两个三角形以为底，高相等，即面积相等；
和，根据和面积相等，两个三角形同时减去，得和面积相等．
（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：与的面积相等，分析如下：
与同底，点在上移动，那么无论点移动到任何位置，点到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．
【点拨】本题考察了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．
【变式2】如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ；
（2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ．
理由是： ．

【答案】（1）与、与、与；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析．
【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；
（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．
（1）设平行线m与n之间的距离为h
则和的边CP上高均为h，和的边AB上高均为h
由同底等高得：与的面积相等，与的面积相等
又，

即与的面积相等
故答案为：与、与、与；
（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形
理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．
【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．