人教版七年级下册5.1.1 相交线导学案及答案

这是一份人教版七年级下册5.1.1 相交线导学案及答案，共16页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.能依据对顶角、邻补角概念与性质，进行简单的计算.
【要点梳理】
相交线定义：如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交。相对的，我们称这两条直线为相交线。
1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
特别说明：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．
特别说明：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角对比：
【典型例题】
类型一、相交线
1．1．根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
解：A．由于直线l2不经过点M，故本选项不合题意；
B．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；
C．由于点M在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
举一反三：
【变式1】 平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】先求出m、n的值，再代入求解．
解：平面内两两相交的3条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点，
∴m=3，n=1
∴m+n=4，
故选A.
【点拨】当三条直线都交于一点时，只有1个交点，两两相交不在同一点，有3个交点，注意掌握数学基础知识．
【变式2】下列几个图形与相应语言描述相符的个数有（ ）

延长线段 直线相交于点 点在直线上 过点画直线
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据点、直线、相交线的性质，逐一判定即可.
解：第一个图形，是延长线段，与语言描述相符；
第二个图形，直线相交于点，与语言描述相符；
第三个图形，点A在直线外，与语言描述不相符；
第四个图形，过点画直线，与语言描述相符；
故选：B.
【点拨】此题主要考查点、直线、相交线的性质，熟练掌握，即可解题.
【变式3】在同一平面内，画出三条直线，使它们满足下列条件：①没有交点；②有一个交点；③有两个交点；④有三个交点．其中能画出图形的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③
【答案】A
【分析】根据直线的位置关系,确定每种情况下三直线的位置即可.
解：①三条直线分别平行时,没有交点,故图形可以画出;
②三条直线可以同时经过一个点,故图形可以画出;
③其中两直线平行,第三条直线与平行的直线相交,故图形可以画出;
④三条直线任意两条都相交时,有三个交点,故图形可以画出.
故选A.
【点拨】本题考查了直线的位置关系,在同一平面内两直线有相交和平行两种位置关系.
类型二、对顶角的定义
2．下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义可逐项判断求解．
解：，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和符合对顶角定义，故是对顶角，符合题意；
，和，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了对顶角的定义即：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义．
举一反三：
【变式1】 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、∠1与∠2是对顶角，故A选项正确；
B、∠1与∠2不是对顶角，故B选项错误；
C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误；
D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形特征是解题的关键．
【变式2】下列各图中，∠1，∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对各项进行分析即可．
解：A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角；
B中∠1和∠2是对顶角；
C中∠1和∠2角度不同，不是对顶角；
D中∠1和∠2不存在公共顶点，不是对顶角；
故选：B．
【点拨】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．
【变式3】下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2不是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2是对顶角；
故选：D．
【点拨】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．
类型三、对顶角相等
3．已知各角的度数如图所示，则下列各题中的和分别是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等列方程可求得x的值；根据邻补角互补列方程可求得y的值．
解：根据题意得：x=2x-30°，
解得：x=30°；
y+2y-30°=180°，
解得：y=70°；
故选：B．
【点拨】本题考查了一元一次方程组的应用，理解对顶角相等，邻补角互补，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组．
举一反三：
【变式1】 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．若∠BOD＝42°，则∠EOD的度数为（ ）
A．96°B．94°C．104°D．106°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝42°，由于OA平分∠COE，可得∠AOE的度数，再由平角的定义可求出∠EOD的度数．
解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠AOC＝42°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝∠AOC＝42°，
∴∠EOD＝180°−（∠AOE＋∠BOD）＝180°−（42°＋42°）＝96°．
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．
【变式2】如图，已知，则图中与相等的角有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过同角的补角相等可推出∠1 =∠7，再通过对顶角相等推出∠1=∠4，∠1 =∠6．
解：∠1 + ∠5 = 180°，∠5 +∠7= 180°，
∠1 =∠7，
对顶角相等，
∠7=∠6，∠1=∠4，
∠1 =∠6，
故选：D．
【点拨】本题主要考查对顶角相等以及同角的补角相等，属于基础题，掌握对顶角相等以及同角的补角相等是解题关键．
【变式3】下列各图中，∠与∠是一定相等的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据邻补角、同旁内角、对顶角的定义，分别进行判断即可得到答案．
解：根据题意，
A、∠与∠是邻补角，不一定相等；
B、∠与∠是同旁内角，不一定相等；
C、∠与∠是任意的两个角，不一定相等；
D、∠与∠是对顶角，则∠=∠；
故选：D．
【点拨】本题考查了邻补角、同旁内角、对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角相等进行判断．
类型四、邻补角定义
4．下列说法错误的是（ ）．
A．邻补角是互补的角B．互补的角若相等，则此两角是直角
C．邻补角相等D．一个角的两个邻补角是对顶角
【答案】C
【分析】根据邻补角及角的相关概念，紧扣定义，即可解决．
解：A、邻补角有大小关系，即互补，正确；
B、互补的角若相等，则都是90°，此两角是直角，正确；
C、“邻补角相等”是错的，例如：60°+120°＝180°中，120°两角不相等．
D、根据两条相交直线的图形，可以看出，一个角的两个邻补角是对顶角，正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了邻补角及角的相关概念，注意题干中的要求：选“错误”的；结合作图，即可顺利解决．
举一反三：
【变式1】 已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（ ）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.
解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠3是邻补角，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°．
故选B．
【点拨】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性质.
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角B．相等的角必是对顶角
C．对顶角一定相等D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等
【答案】C
【分析】根据邻补角定义、对顶角定义和性质逐项判断解答即可．
解：A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．
B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．
C．根据对顶角的性质，对顶角一定相等，故C符合题意．
D．例如等腰三角形的底角不是对顶角，但两个底角相等，故D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查邻补角定义、对顶角定义和性质，理解定义，掌握对顶角的性质是解答的关键，
【变式3】图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
类型五、找邻补角
5．（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？
（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？
【答案】（1）2对对顶角，4对邻补角；（2）图中共有12对对顶角，24对邻补角
【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义判断即可；
（2）先将图（2）拆分成如图的形式，再根据（1）的结论判断即可．
解：（1）根据题图可知，图中共有2对对顶角，4对邻补角；
（2）将图（2）拆分为下图：
通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，
对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)；
答：图中共有12对对顶角，24对邻补角；
【点拨】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】 如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，，求∠DOF和∠FOC的度数．
【答案】（1）∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠DOF= 30°，∠FOC=150°
【分析】（1）根据邻补角的定义可得结论；
（2）根据对顶角的定义可得结论；
（3）根据角的互余和互补，计算得解．
解：（1）∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD；
（2）∠COE的对顶角为∠DOF，∠BOE的对顶角为∠AOF；
（3）∵，
∴∠BOF=90°，
∴∠DOF= 90°-60°=30°，
∵∠DOF与∠FOC互为邻补角，
∴∠FOC=180°-30°=150°．
【点拨】本题考查邻补角、对顶角及余角和补角之间的关系，关键是理解并掌握互余、互补、邻补角、对顶角之间的角度和位置关系．
类型六、邻补角互补的运用
6．已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数．
【答案】135°
【分析】根据垂直和邻补角的性质求解即可．
解：∵a⊥b
∴∠2＝∠1＝90°
又∵∠1＝2∠3，
∴90°＝2∠3，
∴∠3＝45°
又∠3与∠4互为邻补角，
∴∠3+∠4＝180°，即45°+∠4＝180°
∴∠4＝135°
【点拨】此题考查了垂直和邻补角的性质，解题的关键是掌握垂直和邻补角的有关性质
举一反三：
【变式1】 已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作OE⊥AB．
（1）如图，，求∠AOC的度数．
（2）如图，在（1）的条件下，过点O作OF⊥CD，经过点O画直线MN，满足射线OM平分∠BOD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与2∠EOF度数相等的角．
【答案】（1）60°；（2）∠BOC，∠AOD，∠NOF，∠EOM
【分析】（1）根据对顶角的性质得出，再根据列出方程即可求解；
（2））根据（1）中∠AOC＝60°，分别计算各角的度数，得其中∠EOF＝60°，根据各角的度数可得结论．
解：（1）如图1，∵，且，
∴，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠COB-∠COE-＝90°，
，
，
∴，
（2）如图2，由（1）知：∠AOC＝60°，
∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝∠AON＝∠CON＝30°，
∵OE⊥AB，OC⊥OF，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠EOF＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝∠FON＝∠EOM＝180°﹣60°＝120°＝2∠EOF，
∴与2∠EOF度数相等的角是：∠AOD，∠BOC，∠FON，∠EOM．
【点拨】本题考查的是垂直的性质，角平分线的定义，以及对顶角和邻补角，熟练掌握这些性质和定义是关键，并会识图，明确角的和与差．
【变式2】如图，直线，相交于点．平分，于点．
（1）请直接写出图中所有与相等的角：______．
（2）若，求的度数．
【答案】（1），；（2）30°
【分析】（1）根据邻补角的定义确定出∠AOC和∠BOD，再根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相等求出∠DOE=∠AOC，从而最后得解；
（2）根据垂直的定义得到∠DOF，根据角平分线的定义求出即可得到结论．
解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠AOC，
∴与∠AOD相等的角有∠BOD，∠DOE；
故答案为：，；
（2）∵
∴
∵
∴
∵平分，
∴
∴
【点拨】本题考查了垂线，余角和补角，对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟练掌握并运用以上性质定理是解题的关键．角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角相等.
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
邻补角互补.