2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）5.1.3 同位角、内错角、同旁内角（知识讲解）学案

5.1.3  同位角、内错角、同旁内角（知识讲解）

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

特别说明：：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

特别说明：：

 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

特别说明：：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

(2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

【典型例题】

类型一、“三线八角”模型

1. 如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角；∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角；∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角

【分析】

根据同旁内角，内错角和同位角的定义求解即可得到答案.

解：∠1 与∠2，∠4 与∠DBC 是同位角；

∠1 与∠3，∠4 与∠5 是内错角；

∠3 与∠4 是同旁内角，∠1 与∠5 是同旁内角.

【点拨】本题主要考查了同旁内角，同位角和内错角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同旁内角，同位角和内错角的定义.

举一反三：

【变式】（1）图1中，∠1、∠2由直线         被直线        所截而成．

（2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】(1) EF，CD；AB；（2）不是 ．

【分析】

（1）根据三线八角的定义求解即可；

（2）根据三线八角的定义求解即可；

解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线．

所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成．

（2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角．

【点拨】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键．

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

2.根据图形填空：

（1）若直线被直线所截，则和_____是同位角；

（2）若直线被直线所截，则和_____是内错角；

（3）和是直线被直线______所截构成的内错角；

（4）和是直线，______被直线所截构成的_____角．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位

【分析】

（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；

（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；

（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；

（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解．

解：由图可得：

（1）若直线被直线所截，则和是同位角；

故答案为；

（2）若直线被直线所截，则和是内错角；

故答案为；

（3）和是直线被直线所截构成的内错角；

故答案为；

（4）和是直线，被直线所截构成的同位角；

故答案为，同位．

【点拨】本题主要考查内错角及同位角的概念，熟练掌握同位角及内错角的概念是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？

【答案】同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；内错角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．

【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．依此即可得出答案．

解：∵∠1和∠5在截线AC同侧，在被截直线BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截线CE的上方，被截直线DB、EB的左侧，

∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2对；

∵∠2和∠3在截线BD两侧，被截直线AC与CE内部；∠1和∠4在截线BE两侧，被截直线AC与CE内部，

∴内错角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2对；

∵∠3和∠5在截线CD同侧，被截直线CB与DB内部；∠4和∠5在截线CE同侧，被截直线CB与EB的内部；∠4和∠2在截线BE同侧，被截直线DB与DE的内部，

∴同旁内角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3对.

【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．

【变式2】如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．

【答案】同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．

【分析】

根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角；
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,结合图形进行分析即可．

解：同位角有∠4与∠8、∠4与∠7、∠2与∠3；

内错角有∠1与∠3、∠7与∠6、∠6与∠8；

同旁内角有∠1与∠4、∠3与∠8，∠1与∠7．

【点拨】本题主要考查了三线八角,解题关键是掌握同位角的边构成“”形,内错角的边构成“”形,同旁内角的边构成“”形．

【变式3】分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．

【答案】图1中同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；内错角有：∠3与∠6，∠4与∠5；同旁内角有：∠3与∠5，∠4与∠6.；图2中同位角有：∠1与∠3，∠2与∠4；同旁内角有：∠3与∠2．

【分析】

根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角．

解：如图1，

同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8；
内错角有：∠3与∠6，∠4与∠5；
同旁内角有：∠3与∠5，∠4与∠6．
如图2，
同位角有：∠1与∠3，∠2与∠4；
同旁内角有：∠3与∠2．

【点拨】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

5. 两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．

（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；

（2）若、，求，的度数

【答案】（1）答案见解析；（2）∠1=162°，∠2=54°．

【分析】

（1）根据同旁内角两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，内错角两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，可得答案；

（2）根据∠1与∠3互补，可得角的度数．

解：（1）如图，下图为所求作．

（2），，

，

又，

，

，

，．

【点拨】本题考查了内错角，同旁内角，利用了邻补角的定义，列出方程，求出∠3的度数是解题的关键．

举一反三：

【变式1】复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．

（1）如图1，直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．

（2）如图2，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为、、，图中一共有______对同旁内角．

（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．

（4）平面内条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．

【答案】（1）2；（2）6；（3）24；（4）

【分析】

（1）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；

（2）根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；

（3）画出四条直线两两相交的图形，然后根据同旁内角的概念找出所有的同旁内角，即可得出答案；

（4）根据同旁内角的概念结合前3问的答案找出规律即可得出答案．

解：（1）如图

其中同旁内角有与，与，共2对

（2）如图

其中同旁内角有与，与，与，与，与，与，共6对，

（3）如图

其中的同位角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与，与，与，与，与共24对，

（4）根据以上规律，平面内条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角

【点拨】本题主要结合同旁内角探索规律，掌握同旁内角的概念并找出规律是解题的关键．

【变式2】已知：射线OP∥AE

（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数．

（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．

（3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．

【答案】（1）°；（2）；（3）

【分析】

（1）利用角平分线的性质求得∠，利用平行线的性质和平角的定义即可求得答案；

（2）利用角平分线的性质求得∠及∠，利用平行线的性质通过计算可求得∠ABO﹣∠AOB的度数；

（3）利用角平分线和平行线的性质，依次求得∠、∠、∠与的代数式，寻找规律，求出∠ABnO的度数．

解：

（1）如图1，∵平分∠

∴∠°，
∵，
∴°，
∴°；
（2）如图2，

∵平分∠

∴∠

设∠，∴∠

∵平分∠，且∠ADO=39°，

∴∠

∵，∴∠

∴∠

∵，

∴∠∠

∴∠；

（3）如图3，

∵∠，

由（1）可知，∠，

∠，

由上述方法可推出：

∠，

…
则∠．

【点拨】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质，第(3)问要根据计算出前几项的代数式，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键．